Verdadeiro ou falso? Justifique!
Todo cojunto de vetores ortogonais é um conjunto LI.
Todo cojunto de vetores ortogonais é um conjunto LI.
Passo 1
O enunciado pergunta se “todo conjunto de vetores ortogonais é um conjunto linearmente independente (LI)”. Vamos usar as definições de ortogonalidade e de independência linear em espaços com produto interno para analisar isso.
Passo 2
Definição de ortogonalidade: dizemos que um conjunto
é ortogonal se
Repare que nada impede, nessa definição, que algum
seja o vetor nulo, pois
para todo
.
Passo 3
Contra-exemplo que prova que a afirmação é falsa sem restrição: seja o conjunto
em
. Temos
logo o conjunto é ortogonal, mas claramente é linearmente dependente porque já
sozinho gera uma dependência não trivial. Então “todo conjunto ortogonal” nem sempre é LI.
Passo 4
Agora, se adicionarmos a hipótese extra de que nenhum vetor do conjunto é o vetor nulo (i.e.
para todo
), então provamos que o conjunto é LI. Suponha
Fazendo produto interno com
e usando ortogonalidade,
Como
, segue
. Isso vale para todo
, logo todos os coeficientes são nulos e o conjunto é LI.
Resposta
A afirmação é falsa no enunciado como dado, pois um conjunto ortogonal pode conter o vetor nulo e ficar dependente. Se exigirmos que todos os vetores sejam não-nulos, então é verdadeiro que um conjunto ortogonal é linearmente independente.