Verdadeiro ou falso? Justifique!
Todo cojunto de vetores ortogonais é um conjunto LI.

Passo 1

O enunciado pergunta se “todo conjunto de vetores ortogonais é um conjunto linearmente independente (LI)”. Vamos usar as definições de ortogonalidade e de independência linear em espaços com produto interno para analisar isso.

Passo 2

Definição de ortogonalidade: dizemos que um conjunto v1,v2,dots,vn é ortogonal se
lang<= vi,vjrang<= = 0 sempre que ineq j
Repare que nada impede, nessa definição, que algum vk seja o vetor nulo, pois lang<= 0,vjrang<==0 para todo j.

Passo 3

Contra-exemplo que prova que a afirmação é falsa sem restrição: seja o conjunto 0,e1 em R^2. Temos
lang<= 0,e1rang<==0,
logo o conjunto é ortogonal, mas claramente é linearmente dependente porque já 0 sozinho gera uma dependência não trivial. Então “todo conjunto ortogonal” nem sempre é LI.

Passo 4

Agora, se adicionarmos a hipótese extra de que nenhum vetor do conjunto é o vetor nulo (i.e. |vi| > 0 para todo i), então provamos que o conjunto é LI. Suponha
a1 v1 + a2 v2 + cdots + an vn = 0
Fazendo produto interno com vj e usando ortogonalidade,
llang<= sumi=1^n ai vi ,, vj rrang<= = sumi=1^n ai lang<= vi, vj rang<= = aj | vj |^2 = 0
Como |vj|^2 > 0, segue aj = 0. Isso vale para todo j, logo todos os coeficientes são nulos e o conjunto é LI.

Resposta

A afirmação é falsa no enunciado como dado, pois um conjunto ortogonal pode conter o vetor nulo e ficar dependente. Se exigirmos que todos os vetores sejam não-nulos, então é verdadeiro que um conjunto ortogonal é linearmente independente.

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