Considere os seguintes vetores no espaço R^5 :
v1=[c 1 2 0 -1 0 ], v2=[l 0 1 1 0 1 ], v3=[c 1 3 1 -1 1 ], v4=[c 2 5 1 -2 1 ]
Verifique se os vetores v1, v2, v3 e v4 são linearmente independentes ou linearmente dependentes. Para isso, determine se a equação:
c1 v1+c2 v2+c3 v3+c4 v4=0
admite uma solução não-trivial para c1, c2, c3, c4. Caso você conclua que os vetores são LD , você deve mostrar como um desses vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se os vetores v1, v2, v3 e v4, que estão no espaço R^5, são linearmente independentes ou dependentes. Para isso, vamos precisar entender o que significa isso e como determinar isso usando uma combinação linear igual a zero.

Passo 2

Primeiro, o que são vetores linearmente independentes? Eles são vetores onde nenhum deles pode ser escrito como uma combinação dos outros. Se conseguirmos escrever um vetor como uma combinação dos outros, então eles são linearmente dependentes.

Passo 3

Vamos montar a equação que o exercício nos deu:
c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 + c4 v4 = 0
Onde 0 é o vetor zero, e queremos ver se além da solução trivial (todos os c iguais a zero), existe alguma outra solução.

Passo 4

Vamos escrever essa equação em forma de sistema linear. Cada componente dos vetores nos dá uma equação:
  1. 1c1 + 0c2 + 1c3 + 2c4 = 0
  2. 2c1 + 1c2 + 3c3 + 5c4 = 0
  3. 0c1 + 1c2 + 1c3 + 1c4 = 0
  4. -1c1 + 0c2 -1c3 -2c4 = 0
  5. 0c1 + 1c2 + 1c3 +1c4 = 0

Passo 5

Observamos que as equações 3 e 5 são iguais. Isso já indica que não temos um sistema completamente independente, mas vamos resolver para ver.

Passo 6

Vamos montar a matriz aumentada do sistema e usar escalonamento para resolver:
1 & 0 & 1 & 2 & | & 0 2 & 1 & 3 & 5 & | & 0 0 & 1 & 1 & 1 & | & 0 -1 & 0 & -1 & -2 & | & 0 0 & 1 & 1 & 1 & | & 0

Passo 7

Aplicando operações de linha para simplificar:
  • Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda:
0c1 +1c2 +1c3 +1c4 =0
  • Adicionamos a primeira linha à quarta:
0c1 +0c2 +0c3 +0c4 =0

Passo 8

Após simplificar, percebemos que as equações se reduzem a:
  1. c1 + c3 + 2c4 = 0
  2. c2 + c3 + c4 = 0
  3. c2 + c3 + c4 = 0

Passo 9

Da segunda equação, temos c2 = -c3 - c4. Substituindo na primeira equação:
c1 + c3 + 2c4 = 0 Rightarrow c1 = -c3 - 2c4

Passo 10

Isso mostra que existem infinitas soluções além da trivial (todos os c zero). Portanto, os vetores são linearmente dependentes.

Passo 11

Agora, vamos expressar um dos vetores como combinação dos outros. Vamos usar a equação para c1:
c1 = -c3 - 2c4
Escolhendo c3=1 e c4=0, temos c1 = -1. E c2 = -1 -0 = -1.
Então:
-1v1 -1v2 +1v3 +0v4 = 0
Rearranjando:
v3 = v1 + v2

Resposta

Os vetores v1, v2, v3 e v4 são linearmente dependentes. Especificamente, v3 pode ser escrito como v3 = v1 + v2.

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