Considere o seguinte sistema linear homogêneo nas variáveis ,
Sabe-se que o conjunto solução deste sistema linear é o subespaço afim do R^5 dado por
A=(1,0,1,1,0)+lambda cdot(0,1,0,1,1): lambda in R
Decida se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
(c) Pode-se afirmar que as soluções do sistema homogêneo A X=0 são dadas por todos os múltiplos do vetor (0,1,0,1,1).
Passo 1
O enunciado nos dá um sistema linear
A X = b
em R^5 com uma única família de soluções descrita pelo subespaço afim
A = (1,0,1,1,0) + lambda,(0,1,0,1,1)colon lambdain R
O conteúdo aqui é a relação entre o conjunto de soluções de um sistema não homogêneo e o espaço nulo (soluções do sistema homogêneo).
Passo 2
Teoria: se p é uma solução particular de A X= b e N(A) é o espaço nulo de A (conjunto de todas as v tais que A v=0), então o conjunto de soluções de A X= b é
p + v colon vin N(A)
Passo 3
Comparando com
A = (1,0,1,1,0) + lambda,(0,1,0,1,1),
vemos que (1,0,1,1,0) é uma solução particular e o conjunto de direções lambda,(0,1,0,1,1) é exatamente N(A).
Passo 4
Logo, as soluções do sistema homogêneo
A X=0
são todas as combinações lineares do vetor (0,1,0,1,1), isto é, todos os múltiplos desse vetor.