Considere o seguinte sistema linear homogêneo nas variáveis X1, X2, X3, X4, X5,
underbrace[ccccc 0 & a12 & 4 & 1 & a15 1 & a22 & 2 & -1 & a25 3 & -1 & 2 & 3 & a35 0 & a42 & 0 & 0 & 1 ]A[c X1 X2 X3 X4 X5 ]=underbrace[c b1 b2 b3 b4 ]b
Sabe-se que o conjunto solução deste sistema linear é o subespaço afim do R^5 dado por
A=(1,0,1,1,0)+lambda cdot(0,1,0,1,1): lambda in R
Decida se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
(c) Pode-se afirmar que as soluções do sistema homogêneo A X=0 são dadas por todos os múltiplos do vetor (0,1,0,1,1).

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear
A X = b
em R^5 com uma única família de soluções descrita pelo subespaço afim
A = (1,0,1,1,0) + lambda,(0,1,0,1,1)colon lambdain R
O conteúdo aqui é a relação entre o conjunto de soluções de um sistema não homogêneo e o espaço nulo (soluções do sistema homogêneo).

Passo 2

Teoria: se p é uma solução particular de A X= b e N(A) é o espaço nulo de A (conjunto de todas as v tais que A v=0), então o conjunto de soluções de A X= b é
p + v colon vin N(A)

Passo 3

Comparando com
A = (1,0,1,1,0) + lambda,(0,1,0,1,1),
vemos que (1,0,1,1,0) é uma solução particular e o conjunto de direções
lambda,(0,1,0,1,1) é exatamente N(A).

Passo 4

Logo, as soluções do sistema homogêneo
A X=0
são todas as combinações lineares do vetor (0,1,0,1,1), isto é, todos os múltiplos desse vetor.

Resposta

Verdadeiro.

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