É muitas vezes útil saber expressar um subespaço vetorial de como o conjunto solução de algum sistema linear homogêneo em variáveis (isto permite, por exemplo, decidir de maneira rápida se um dado vetor está ou não em ).
Faça isto para cada subespaço vetorial abaixo, isto é, encontre um sistema linear homogêneo em variáveis cujo conjunto solução seja igual a :
(b) dado por , onde .
Passo 1
O enunciado nos dá o subespaço ,
com
Queremos encontrar um sistema linear homogêneo em cuja solução seja exatamente . A estratégia é usar o complemento ortogonal: todo vector que anula gera uma equação .
Passo 2
Chamemos
As soluções . Cada define uma equação .
Passo 3
Subtraindo a primeira da segunda equação obtemos
Note que a terceira equação é combinação linear das duas primeiras, de modo que o sistema original tem posto em incógnitas. Logo .
Passo 4
Resolvendo
podemos tomar como parâmetros livres. Da segunda equação
e da primeira
Portanto
Passo 5
Escolhemos três vectores independentes de fixando um dos parâmetros igual a e os outros nulos:
Cada gera a equação homogênea . Assim o sistema que define é
Passo 6
Verificamos rapidamente que v1,v2,v3 satisfazem todas as três equações e que qualquer solução desse sistema é combinação linear de v1,v2,v3. Portanto o conjunto solução é exatamente W2.