É muitas vezes útil saber expressar um subespaço vetorial W de R^n como o conjunto solução de algum sistema linear homogêneo em n variáveis (isto permite, por exemplo, decidir de maneira rápida se um dado vetor v in R^n está ou não em W ).
Faça isto para cada subespaço vetorial W subset R^n abaixo, isto é, encontre um sistema linear homogêneo em n variáveis cujo conjunto solução seja igual a W :
(b) W2 subset R^5 dado por W2=>=r[v1, v2, v3], onde v1=(1,3,-3,-1,-4), v2= (1,4,-1,-2,-2), v3=(2,9,0,-5,-2).

Passo 1

O enunciado nos dá o subespaço
W2=>=rv1,v2,v3subsetR^5,
com
v1=(1,3,-3,-1,-4), v2=(1,4,-1,-2,-2), v3=(2,9,0,-5,-2)
Queremos encontrar um sistema linear homogêneo em x=(x1,x2,x3,x4,x5) cuja solução seja exatamente W2. A estratégia é usar o complemento ortogonal: todo vector y que anula ,cdot vi gera uma equação ycdot x=0.

Passo 2

Chamemos
As soluções . Cada define uma equação .

Passo 3

Subtraindo a primeira da segunda equação obtemos
(a+4b-c-2d-2e)-(a+3b-3c-d-4e)=0 ;Longrightarrow; b+2c-d+2e=0
Note que a terceira equação é combinação linear das duas primeiras, de modo que o sistema original tem posto 2 em 5 incógnitas. Logo dimW2^perp=5-2=3.

Passo 4

Resolvendo
a+3b-3c-d-4e=0, b+2c-d+2e=0,
podemos tomar c,d,e como parâmetros livres. Da segunda equação
b=-2c+d-2e,
e da primeira
a=-3b+3c+d+4e =-3(-2c+d-2e)+3c+d+4e =9c-2d+10e
Portanto
y=(a,b,c,d,e) =(9c-2d+10e,,-2c+d-2e,,c,,d,,e)

Passo 5

Escolhemos três vectores independentes de W2^perp fixando um dos parâmetros igual a 1 e os outros nulos:
y1=(9,-2,1,0,0), y2=(-2,1,0,1,0), y3=(10,-2,0,0,1)
Cada yj gera a equação homogênea yjcdot x=0. Assim o sistema que define W2 é
9x1-2x2+x3=0, -2x1+x2+x4=0, 10x1-2x2+x5=0

Passo 6

Verificamos rapidamente que v1,v2,v3 satisfazem todas as três equações e que qualquer solução desse sistema é combinação linear de v1,v2,v3. Portanto o conjunto solução é exatamente W2.

Resposta

9x1-2x2+x3=0, -2x1+x2+x4=0, 10x1-2x2+x5=0

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