Considere o seguinte sistema linear nas incógnitas x, y e z.
r x+2 y+2 z=b 3 x+6 y-4 z=4 2 x+a y-6 z=1
Determine todos os valores de a e de b para os quais o sistema não tem solução;

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear nas incógnitas
Queremos achar os valores de para os quais o sistema não tem solução. Para isso vamos usar a teoria de sistemas lineares: cálculo do determinante da matriz de coeficientes para identificar quando ela é singular e, nesse caso, comparar o posto da matriz de coeficientes com o posto da matriz ampliada.

Passo 2

Montamos a matriz de coeficientes A e o vetor de termos independentes d:
A = 1 & 2 & 2 3 & 6 & -4 2 & a & -6 , d = b41
Se det(A)neq0, o sistema tem solução única para todo b. Só pode dar inconsistência quando det(A)=0.

Passo 3

Calculamos det(A):
det(A) =1cdotl(6cdot(-6)-(-4),ar) -2cdotl(3cdot(-6)-(-4)cdot2r) +2cdotl(3a-6cdot2r) =10,(a-4)
Logo det(A)=0 exatamente quando a=4.

Passo 4

Para , a matriz fica singular. Fazendo eliminação de Gauss em temos, a partir de
as operações
produzem
Aqui o posto de é . O sistema será inconsistente se as duas últimas linhas implicarem e com valores diferentes no lado direito, ou seja, se

Resposta

O sistema não tem solução exatamente quando
a = 4 e b neq 3

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