Considere o seguinte sistema linear nas incógnitas x, y e z.
r x+2 y+2 z=b 3 x+6 y-4 z=4 2 x+a y-6 z=1
Determine todos os valores de a e de b para os quais o sistema tem uma única solução;

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear em (x,y,z) com parâmetros a e b. O conteúdo usado será o critério de invertibilidade de uma matriz de coeficientes pelo determinante: o sistema terá solução única se, e só se, o determinante da matriz de coeficientes for não nulo.

Passo 2

A matriz de coeficientes é
A = 1 & 2 & 2 3 & 6 & -4 2 & a & -6 ,
e o sistema tem solução única se, e somente se, det A neq 0.

Passo 3

Vamos calcular det A por expansão de Laplace na primeira linha:
det A = 1cdotdet6 & -4 a & -6 -2cdotdet3 & -4 2 & -6 +2cdotdet3 & 6 2 & a

Passo 4

Avaliam-se os menores:
det6 & -4 a & -6=-36+4a, det3 & -4 2 & -6=-18+8=-10,
det3 & 6 2 & a=3a-12
Logo,
det A = (-36+4a)-2(-10)+2(3a-12) = -36+4a+20+6a-24 =10a-40 =10(a-4)

Passo 5

Temos det Aneq0 se, e somente se, a-4neq0, ou seja, aneq4. Para qualquer aneq4, o sistema é invertível e admite solução única para todo binR.

Resposta

aneq4 e b pode ser qualquer número real.

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