Considere o seguinte sistema linear nas incógnitas x, y e z.
r x+2 y+2 z=b 3 x+6 y-4 z=4 2 x+a y-6 z=1
Determine todos os valores de a e de b para os quais o sistema tem infinitas soluções. Nesse caso dê o conjunto solução do sistema.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear em
queremos os valores de que fazem o sistema ter infinitas soluções. Para isso precisamos que o posto da matriz dos coeficientes seja menor que (ou seja, o determinante seja zero) e que o sistema seja consistente.

Passo 2

Vamos calcular o determinante da matriz de coeficientes
A = 1 & 2 & 2 3 & 6 & -4 2 & a & -6
Usando a expansão pela primeira linha temos
det(A) =1cdotdet6 & -4 a & -6 -2cdotdet3 & -42 & -6 +2cdotdet3 & 62 & a
Calculando cada menor obtemos
det(A) = (6cdot(-6)-(-4),a) -2l(3cdot(-6)-(-4)cdot2r) +2l(3a-6cdot2r) =10(a-4)

Passo 3

Para ter posto menor que 3 precisamos det(A)=0, logo
10(a-4)=0 Longrightarrow a=4
Dessa forma só com a=4 podemos ter infinitas soluções.

Passo 4

Substituindo
Da primeira equação isolamos fica

Passo 5

Ainda com a=4, impomos que a terceira equação seja satisfeita:
2x+4y-6z=1
Substituindo x e z achados:
2l(2b5-2y+45r) +4y -6l(3b-410r) =1 ;Longrightarrow; -5b+20=5 ;Longrightarrow; b=3
Portanto o sistema é consistente só se b=3.

Passo 6

Com a=4 e b=3 temos
z=3cdot3-410=510=tfrac12, x=2cdot35-2y+45=2-2y
Como y fica livre, definimos y=t com tinR. Logo o conjunto-solução é
l(x,y,z)=(2-2t,;t,;tfrac12)mid tinRr

Resposta

Os valores que geram infinitas soluções são
a=4, b=3,
e o conjunto-solução é
(2-2t,;t,;tfrac12)mid tinR

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