Considere o seguinte sistema linear nas incógnitas e .
Determine todos os valores de a e b para os quais o sistema não tem solução;
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear nos escalares
Queremos achar para quais que a tornam singular, e depois (2) nesses casos singulares, impor a condição de consistência obtida analisando a relação linear entre as equações e a lista de termos independentes.
Passo 2
Calculemos o determinante da matriz de coeficientes
A = 5 & a & -2 a & 3 & 3 2 & 4 & -1
Usando expansão pela primeira linha,
det A =5det3&34&-1 - adeta&32&-1 -2deta&32&4
Calculando cada menor,
det A =5(3cdot(-1)-3cdot4)-al(acdot(-1)-3cdot2r)-2l(acdot4-3cdot2r) =a^2-2a-63=(a-9)(a+7)
Logo a matriz é singular exatamente para a=9 ou a=-7.
Passo 3
Para a=9 a matriz fica singular. As três equações são então linearmente dependentes. Procuramos coeficientes alpha,beta,gamma tais que
Resolve-se e obtém-se, por exemplo, alpha=-15, beta=1, gamma=33. Somando -15 vezes a primeira equação, mais a segunda, mais 33 vezes a terceira, o lado esquerdo em x,y,z some a zero, enquanto o lado direito vira
-15cdot1 + 1cdot b + 33cdot0 = b - 15
Para ser consistente precisamos b-15=0. Caso contrário, obtemos 0=b-15 com bneq15, o que é impossível. Concluímos que se a=9 e bneq15, o sistema não tem solução.
Passo 4
Para a=-7 a matriz também é singular. Agora os vetores de coeficientes satisfazem
(5,-7,-2)+(-7,3,3)+(2,4,-1)=(0,0,0),
isto é, basta somar a primeira, a segunda e a terceira equação. Isso faz o lado esquerdo em x,y,z ser zero e o lado direito virar
1 + b + 0 = b + 1
Para haver solução queremos b+1=0. Se bneq -1, temos 0=b+1 impossível, logo inconsistente. Portanto, se a=-7 e bneq -1, não há solução.
Resposta
Para o sistema não ter solução, é preciso que a matriz seja singular e a condição de consistência falhe. Assim:
boxed l(a,b)mid a=9, bneq15r cup l(a,b)mid a=-7, bneq -1r