Considere o seguinte sistema linear nas incógnitas x, y e z.
l 5 x+a y-2 z=1 a x+3 y+3 z=b 2 x+4 y-z=0
Determine todos os valores de a e b para os quais o sistema tem uma única solução;

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear em (x,y,z) com parâmetros a e b. Para que haja única solução, a teoria de sistemas lineares nos diz que a matriz dos coeficientes deve ser invertível, isto é, seu determinante deve ser não nulo.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes
A = 5 & a & -2 a & 3 & 3 2 & 4 & -1
e calculamos o determinante
D = det(A),

Passo 3

Usando a regra de Sarrus (ou expansão por cofatores), temos
D = 5l(3cdot(-1)-3cdot4r) - al(acdot(-1)-3cdot2r) +(-2)l(acdot4 - 3cdot2r)
Isso é
D = 5(-3-12);-;a(-a-6);-;2(4a-6) = -75 + a(a+6) -8a +12 = a^2 -2a -63

Passo 4

Para o sistema ser única-mente solucionável precisamos de
D neq 0 Long<=ftrightarrow a^2 -2a -63 neq 0
Resolvendo
a^2 -2a -63 = 0 Longrightarrow a = 2pmraiz4+2522 = 2pm162 ;Rightarrow;a=9 ou a=-7

Passo 5

Portanto, o sistema tem única solução sempre que
a neq 9 e a neq -7,
sem impor restrição alguma em b.

Resposta

O sistema tem solução única se, e somente se,
a neq 9 e a neq -7,
e b pode ser qualquer número real.

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