Considere o seguinte sistema linear nas incógnitas x, y e z.
l 5 x+a y-2 z=1 a x+3 y+3 z=b 2 x+4 y-z=0
Determine todos os valores de a e b para os quais o sistema tem infinitas soluções. Aqui dê o conjunto solução do sistema linear.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear nas incógnitas
Queremos valores de (a,b] para que o sistema tenha infinitas soluções. Isso ocorre quando a matriz de coeficientes é singular (determinante zero) e o sistema é consistente.

Passo 2

Calculemos o determinante da matriz de coeficientes
A = 5 & a & -2 a & 3 & 3 2 & 4 & -1
Temos
det(A) =53&34&-1 - aa&32&-1 -2a&32&4 = a^2-2a-63 =(a-9)(a+7)
Logo a matriz é singular se, e só se, a=9 ou a=-7.

Passo 3

Caso
Como (\operatorname{rank}(A)=2], as equações são linearmente dependentes. De fato,
çãçãçã
logo a consistência exige

Passo 4

Para a=9 e b=15, escolhemos z=t como parâmetro. Da terceira equação
2x+4y - t =0implies x= t2 -2y
Substituindo na primeira
5l( t2-2yr)+9y -2t=1 implies t/2 -y=1 implies y= t2 -1,
e então
x = t2 -2l( t2 -1r) = - t2 +2
Assim as soluções são
(x,y,z)=l(-tfrac t2+2,;tfrac t2-1,;tr), tin R

Passo 5

Caso a=-7, o sistema é
5x -7y -2z =1, -7x +3y +3z = b, 2x +4y -z =0
Novamente há dependência
(Equação 2) = -1times(Equação 1) -1times(Equação 3), çãçãçã
então para consistência
b = -1cdot1 -1cdot0 = -1

Passo 6

Para a=-7 e b=-1, tomamos z=t. Da terceira equação
2x+4y = timplies x= t2-2y
Na primeira
5l( t2-2yr)-7y -2t=1 implies t/2 -17y=1 implies y=t/2-117=t-234,
e
x= t2 -2t-234 =15t+434
Logo as soluções são
(x,y,z)=l(tfrac15t+434,;tfract-234,;tr), tin R

Resposta

Para infinitas soluções só nos casos
(a,b)=(9,15)ou(a,b)=(-7,-1),
e os conjuntos- soluções são, respectivamente:
(x,y,z)=(-tfrac t2+2,;tfrac t2-1,;t)mid tin R e (x,y,z)=(tfrac15t+434,;tfract-234,;t)mid tin R

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