Considere o seguinte sistema linear nas incógnitas x, y e z.
l 3 x+4 y+a z=1 a x+y+3 z=b 2 x+3 y-2 z=1
Determine todos os valores de a e b para os quais o sistema tem uma única solução;

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear nas incógnitas
O conteúdo principal aqui é determinar quando esse sistema tem solução única. Para isso, vamos usar o fato de que um sistema (3\times3] tem solução única se, e somente se, o determinante da sua matriz de coeficientes for diferente de zero.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes A:
A = 3 & 4 & a a & 1 & 3 2 & 3 & -2

Passo 3

Calculamos o determinante de A. Usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores, obtemos
det(A) =3l(1cdot(-2)-3cdot3r) -4l(acdot(-2)-3cdot2r) +al(acdot3-1cdot2r)
Agora simplificamos termo a termo:
3l(-2-9r) = -33, -4l(-2a-6r)=8a+24, a(3a-2)=3a^2-2a
Somando tudo:
det(A) = -33 + (8a+24) + (3a^2-2a) =3a^2 +6a -9
Fatorando:
det(A) = 3l(a^2+2a-3r) =3(a-1)(a+3)

Passo 4

Para que haja solução única, precisamos de det(A)neq0. Logo,
3(a-1)(a+3)neq0 Long<=ftrightarrow aneq1e aneq -3
Nesse caso, o parâmetro b não afeta a existência nem a unicidade da solução: para qualquer binR o sistema terá exatamente uma solução.

Resposta

O sistema tem solução única exatamente quando
aneq1 e aneq -3,
com b podendo ser qualquer número real.

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