Considere o seguinte sistema linear nas incógnitas x, y e z.
l 3 x+4 y+a z=1 a x+y+3 z=b 2 x+3 y-2 z=1
Determine todos os valores de a e b para os quais o sistema não tem solução;

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear
3x + 4y + a z = 1, a x + y + 3z = b, 2x + 3y -2z = 1,
com parâmetros a,b. O conteúdo é Álgebra Linear: para saber quando não tem solução, vamos comparar o posto da matriz de coeficientes com o posto da matriz aumentada, usando determinante para achar quando a matriz é singular.

Passo 2

Calculamos o determinante da matriz de coeficientes
D(a) = 3 & 4 & a a & 1 & 3 2 & 3 & -2 =3l(1cdot(-2)-3cdot3r) -4l(acdot(-2)-3cdot2r) +al(acdot3-1cdot2r)
Simplificando,
D(a)=-33 +8a+24 +3a^2-2a =3a^2+6a-9 =3l(a^2+2a-3r) =3(a-1)(a+3)
Logo, D(a)=0 exatamente se a=1 ou a=-3. Só nesses valores o sistema pode falhar em ter solução.

Passo 3

Caso a=1: a matriz de coeficientes tem posto 2. Para verificar consistência, expressamos a terceira equação como combinação das duas primeiras. Sejam alpha,beta tais que
alpha,(3,4,1)+beta,(1,1,3)=(2,3,-2)
Das duas primeiras coordenadas vem alpha=1 e beta=-1, e a terceira confirma -2. No lado dos termos independentes, precisamos
alphacdot1+betacdot b =1 Longrightarrow 1 - b = 1 Longrightarrow b=0
Se bneq0, o posto da matriz aumentada sobe para 3 enquanto o da matriz de coeficientes fica 2, dando inconsistência.

Passo 4

Caso a=-3: fazemos igual, buscando alpha,beta tais que
alpha,(3,4,-3)+beta,(-3,1,3)=(2,3,-2)
Resolvendo dá alpha=tfrac1115 e beta=tfrac115, e a combinação dos termos independentes exige
alphacdot1+betacdot b =1 Longrightarrow tfrac1115 + tfracb15 = 1 Longrightarrow b=4
Logo se bneq4 o sistema é inconsistente (posto aumentado 3 versus posto de coeficientes 2).

Resposta

O sistema não tem solução exatamente quando
  • a=1 e bneq0,
  • a=-3 e bneq4.

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