Considere o seguinte sistema linear nas incógnitas e .
Determine todos os valores de a e b para os quais o sistema não tem solução;
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear
3x + 4y + a z = 1, a x + y + 3z = b, 2x + 3y -2z = 1,
com parâmetros a,b. O conteúdo é Álgebra Linear: para saber quando não tem solução, vamos comparar o posto da matriz de coeficientes com o posto da matriz aumentada, usando determinante para achar quando a matriz é singular.
Passo 2
Calculamos o determinante da matriz de coeficientes
D(a) = 3 & 4 & a a & 1 & 3 2 & 3 & -2 =3l(1cdot(-2)-3cdot3r) -4l(acdot(-2)-3cdot2r) +al(acdot3-1cdot2r)
Logo, D(a)=0 exatamente se a=1 ou a=-3. Só nesses valores o sistema pode falhar em ter solução.
Passo 3
Caso a=1: a matriz de coeficientes tem posto 2. Para verificar consistência, expressamos a terceira equação como combinação das duas primeiras. Sejam alpha,beta tais que
alpha,(3,4,1)+beta,(1,1,3)=(2,3,-2)
Das duas primeiras coordenadas vem alpha=1 e beta=-1, e a terceira confirma -2. No lado dos termos independentes, precisamos
alphacdot1+betacdot b =1 Longrightarrow 1 - b = 1 Longrightarrow b=0
Se bneq0, o posto da matriz aumentada sobe para 3 enquanto o da matriz de coeficientes fica 2, dando inconsistência.
Passo 4
Caso a=-3: fazemos igual, buscando alpha,beta tais que
alpha,(3,4,-3)+beta,(-3,1,3)=(2,3,-2)
Resolvendo dá alpha=tfrac1115 e beta=tfrac115, e a combinação dos termos independentes exige