Considere o seguinte sistema linear nas incógnitas x, y e z.
l 3 x+4 y+a z=1 a x+y+3 z=b 2 x+3 y-2 z=1
Determine todos os valores de a e b para os quais o sistema tem infinitas soluções. Aqui dê o conjunto solução do sistema linear.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
3x + 4y + a z = 1, a x + y + 3z = b, 2x + 3y - 2z = 1,
e pede os valores de a e b para que haja infinitas soluções. Para isso precisamos que o determinante da matriz dos coeficientes seja zero (rank < 3) e que o sistema seja consistente (rank da matriz aumentada igual ao da dos coeficientes).

Passo 2

Calculemos o determinante
D = det 3 & 4 & a a & 1 & 3 2 & 3 & -2
Expandindo pela primeira linha,
D = 3det1&33&-2 -4deta&32&-2 +adeta&12&3
Calcula-se
det1&33&-2=-11, deta&32&-2=-2a-6, deta&12&3=3a-2
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D = 3(-11) -4(-2a-6) + a(3a-2) = -33 +8a+24 +3a^2-2a =3a^2+6a-9 =3(a-1)(a+3)

Passo 3

Para infinitas soluções precisamos D=0, ou seja
a-1=0ou a+3=0 ;Longrightarrow;a=1;ou;a=-3
Agora tratamos cada caso exigindo consistência.

Passo 4

Caso
Da segunda equação ª e ª obtemos ambas a condição
que só são iguais se , i.e.\ . Para temos a única relação
once é livre. Tomando , as soluções são

Passo 5

Caso
Das duas primeiras somando obtemos . Também delas isolamos
Substituindo na terceira equação resulta
Para há infinitas soluções; tomando obtemos

Resposta

Os valores de (a,b) que geram infinitas soluções são
(a,b) = (1,0) com conjunto-solução (x,y,z) = (-1 - 11t,,1 + 8t,,t) mid t in R, çã
e
(a,b) = (-3,4) com conjunto-solução (x,y,z) = (-1 + t,,1,,t) mid t in R çã

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