Determine condições sobre
e
para que o sistema linear
possua uma única solução; infinitas soluções; e nenhuma solução.
Passo 1
Resumindo, temos o sistema linear em
O conteúdo é determinar para quais valores de (a,b] a matriz de coeficientes é invertível (única solução) ou singular (infinitas ou nenhuma solução). Vamos usar determinante e eliminação de Gauss para investigar.
Passo 2
Escrevemos a matriz de coeficientes
e calculamos
Passo 3
Pelo Teorema de Cramer, o sistema tem única solução se, e somente se,
Passo 4
Agora suponha
, de modo que
e o sistema pode ter infinitas ou nenhuma solução. Para ver qual caso ocorre, fazemos eliminação de Gauss. Partimos de
com
(já que
implica
). Eliminando
em
por
,
, e depois eliminando
em
usando
, chega-se à linha
Mas se
então
, de modo que o coeficiente de
nessa última equação é zero e ela fica
Passo 5
Para que essa equação seja identicamente verdadeira (e haja infinitas soluções) precisamos de
Com
ab=12 e
a=3 segue
b=4 . Portanto
- se
, o sistema fica singular mas consistente, dando infinitas soluções.(a,b)=(3,4) - se
eab=12 , então(a,b)neq(3,4) e a última linha é4-tfrac12aneq0 , gerando nenhuma solução.0=,não-zero ã
Resposta
Única solução:
abneq12 .
Infinitas soluções:(a,b)=(3,4) .
Nenhuma solução:ab=12 e
(a,b)neq(3,4) .
Infinitas soluções:
Nenhuma solução: