Determine condições sobre a e b para que o sistema linear
a x+2 z & =2 5 x+2 y & =1 x-2 y+b z & =3
possua uma única solução; infinitas soluções; e nenhuma solução.

Passo 1

Resumindo, temos o sistema linear em
O conteúdo é determinar para quais valores de (a,b] a matriz de coeficientes é invertível (única solução) ou singular (infinitas ou nenhuma solução). Vamos usar determinante e eliminação de Gauss para investigar.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes
A = a & 0 & 2 5 & 2 & 0 1 & -2 & b
e calculamos
det(A) = adet2&0-2&b +2det5&21&-2 = a,(2b)+2,(-12) =2ab-24 =2,(ab-12)

Passo 3

Pelo Teorema de Cramer, o sistema tem única solução se, e somente se,
det(A)neq0 Long<=ftrightarrow ab-12neq0

Passo 4

Agora suponha , de modo que e o sistema pode ter infinitas ou nenhuma solução. Para ver qual caso ocorre, fazemos eliminação de Gauss. Partimos de
com (já que implica ). Eliminando em por , , e depois eliminando em usando , chega-se à linha
Mas se então , de modo que o coeficiente de nessa última equação é zero e ela fica

Passo 5

Para que essa equação seja identicamente verdadeira (e haja infinitas soluções) precisamos de
4 - 12a = 0 Long<=ftrightarrow a = 3
Com ab=12 e a=3 segue b=4. Portanto
  • se (a,b)=(3,4), o sistema fica singular mas consistente, dando infinitas soluções.
  • se ab=12 e (a,b)neq(3,4), então 4-tfrac12aneq0 e a última linha é 0=,não-zeroã, gerando nenhuma solução.

Resposta

Única solução: abneq12.
Infinitas soluções: (a,b)=(3,4).
Nenhuma solução: ab=12 e (a,b)neq(3,4).

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