Dê um exemplo de uma matriz não diagonal A2 times 2 tal que A^-1=A.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de matriz 2times2, não diagonal, que satisfaça
A^-1 = A
O conteúdo aqui é matrizes invertíveis e, em particular, matrizes involutórias (aquelas para as quais A^2=I). Vamos usar a relação entre inversa e produto para chegar a A^2=I e então escolher uma solução não diagonal.

Passo 2

Se A^-1=A, então multiplicando ambos os lados por A temos
A,A^-1 = A,A Longrightarrow I = A^2
Logo, a condição principal é
A^2 = I,
isto é, A deve ser involutória.

Passo 3

Seja
A = a & b [6pt] c & d
Então
A^2 = a^2 + b,c & a,b + b,d [4pt] c,a + d,c & c,b + d^2
deve ser igual a
I = 1 & 0 [4pt] 0 & 1
Isso gera o sistema de equações
a^2 + b,c = 1, (a+d),b = 0, (a+d),c = 0, b,c + d^2 = 1 ]

Passo 4

Para obter uma matriz não diagonal, basta escolher bneq0 (ou cneq0). A escolha mais simples é
a = 0, d = 0, b = 1, c = 1
Isso leva à matriz
A = 0 & 1 [4pt] 1 & 0 ]

Passo 5

Verificamos rapidamente que
A^2 = 0 & 11 & 0 0 & 11 & 0 = 1 & 00 & 1 = I,
portanto A^-1=A, e A não é diagonal.

Resposta

A = 0 & 1 [4pt] 1 & 0 ]

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