Considere o seguinte sistema linear nas incógnitas e .
Determine todos os valores de a para os quais o sistema tem infinitas soluções. Nesse caso dê o conjunto solução do sistema.
Passo 1
O enunciado fornece o sistema
x + a,y + z = 3, 2x - y + z = a, a,x + 4y + 2z = 6
e pede os valores de a para os quais há infinitas soluções. O conteúdo principal é a classificação de sistemas lineares conforme o determinante da matriz dos coeficientes e a consistência do sistema.
Passo 2
Formamos a matriz dos coeficientes
e calculamos o determinante . Usando expansão pela primeira linha:
Computando cada menor:
Logo
Passo 3
Para ter infinitas soluções precisamos de det(A)=0 e sistema consistente. Da fatoração (a-1)(a-2)=0 vem
a=1ou a=2
Passo 4
Verificamos consistência para cada caso.
Para
Somando as duas primeiras equações obtemos
enquanto a terceira dá
Como .
Passo 5
Para
Note que a terceira é o dobro da primeira, logo é redundante. Das duas primeiras:
Subtraindo a primeira da segunda:
De volta em , obtemos
o que gera infinitas soluções.
Resposta
O sistema tem infinitas soluções somente para a=2.
Nesse caso, o conjunto-resultado é