Considere o seguinte sistema linear nas incógnitas x, y e z.
x-3 y+a z & =14 4 x+a y+6 z & =20 x+y+2 z & =a
Determine todos os valores de a para os quais o sistema tem uma única solução;

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear em (x,y,z) dependente do parâmetro a:
x - 3y + a z = 14, 4x + a y + 6z = 20, x + y + 2z = a
O conteúdo é resolução de sistemas lineares com condição de existência de solução única. Para ter uma única solução, o determinante da matriz de coeficientes deve ser diferente de zero.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes A e calculamos seu determinante:
A = 1 & -3 & a 4 & a & 6 1 & 1 & 2

Passo 3

Vamos calcular
det(A)
por expansão na primeira linha:
det(A) = 1cdotdeta&61&2 -(-3)cdotdet4&61&2 + acdotdet4&a1&1
Agora cada menor:
deta&61&2 =2a-6, det4&61&2 =8-6=2, det4&a1&1 =4- a
Substituindo:
det(A) =1,(2a-6)+3,(2)+a,(4-a) =2a-6+6+4a-a^2 =6a-a^2 =a(6-a)

Passo 4

Para que o sistema tenha solução única, é preciso
det(A)neq 0 Longrightarrow a(6-a)neq 0 Longrightarrow aneq 0, aneq 6

Resposta

O sistema tem solução única para todos os valores de a tais que
aneq 0e aneq 6

Exercícios relacionados