Considere o seguinte sistema linear nas incógnitas x, y e z.
x-3 y+a z & =14 4 x+a y+6 z & =20 x+y+2 z & =a
Determine todos os valores de a para os quais o sistema tem infinitas soluções. Nesse caso dê o conjunto solução do sistema.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de três equações em três incógnitas x,y,z com parâmetro a:
x-3y+az=14, 4x+ay+6z=20, x+y+2z=a
O conteúdo aqui é estudo de solução de sistemas lineares via determinante da matriz de coeficientes (para saber quando o sistema é singular) e, em caso singular, análise de consistência (ranks) para identificar infinitas soluções.

Passo 2

Calculemos o determinante da matriz de coeficientes
A= 1 & -3 & a 4 & a & 6 1 & 1 & 2
Usando expansão na primeira linha,
det A =1cdotl(acdot2-6cdot1r) -(-3)cdotl(4cdot2-6cdot1r) +acdotl(4cdot1-acdot1r) =2a-6+3cdot2+a(4-a) =6a-a^2 = a(6-a)
Logo det A=0 se, e somente se, a=0 ou a=6. Esses são os únicos candidatos a sistema singular (sem única solução).

Passo 3

Analisemos
Da primeira equação o sistema é inconsistente (nenhuma solução), não dá infinitas soluções.

Passo 4

Agora
Da primeira e da terceira vamos expressar em função de . Da primeira:
Da terceira:
Então
Verifiquemos na segunda:
que se reduz a , sempre verdade. Logo há infinitas soluções.

Passo 5

Para a=6 a família de soluções é obtida parametrizando por t=z. Assim
z=t, y=t-2, x=8-3t, tinR

Resposta

O sistema tem infinitas soluções apenas para a=6. Nesse caso o conjunto-solução é
(x,y,z)=(8-3t,;t-2,;t)mid tinR

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