Considere o seguinte sistema linear nas incógnitas e .
Determine todos os valores de a para os quais o sistema tem infinitas soluções. Nesse caso dê o conjunto solução do sistema.
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear de três equações em três incógnitas x,y,z com parâmetro a:
x-3y+az=14, 4x+ay+6z=20, x+y+2z=a
O conteúdo aqui é estudo de solução de sistemas lineares via determinante da matriz de coeficientes (para saber quando o sistema é singular) e, em caso singular, análise de consistência (ranks) para identificar infinitas soluções.
Passo 2
Calculemos o determinante da matriz de coeficientes
A= 1 & -3 & a 4 & a & 6 1 & 1 & 2
Usando expansão na primeira linha,
det A =1cdotl(acdot2-6cdot1r) -(-3)cdotl(4cdot2-6cdot1r) +acdotl(4cdot1-acdot1r) =2a-6+3cdot2+a(4-a) =6a-a^2 = a(6-a)
Logo det A=0 se, e somente se, a=0 ou a=6. Esses são os únicos candidatos a sistema singular (sem única solução).
Passo 3
Analisemos
Da primeira equação o sistema é inconsistente (nenhuma solução), não dá infinitas soluções.
Passo 4
Agora
Da primeira e da terceira vamos expressar em função de . Da primeira:
Da terceira:
Então
Verifiquemos na segunda:
que se reduz a , sempre verdade. Logo há infinitas soluções.
Passo 5
Para a=6 a família de soluções é obtida parametrizando por t=z. Assim
z=t, y=t-2, x=8-3t, tinR
Resposta
O sistema tem infinitas soluções apenas para a=6. Nesse caso o conjunto-solução é