Dê exemplo de matrizes 2 times 2 não nulas A, B e C tais que
A B=A C e B neq C
É possível construir um tal exemplo com det(A) neq 0?

Passo 1

O enunciado pede que encontremos matrizes 2times2 não nulas A, B e C tais que
A,B = A,C
mas ainda assim
B neq C
O conteúdo envolvido é multiplicação de matrizes e a ideia de núcleo (nullspace) de uma matriz à direita. Para responder também à pergunta “é possível ter det(A)neq 0?”, vamos usar a propriedade de que, se det(A)neq 0, então A é invertível e A,X=0 implica X=0.

Passo 2

Da igualdade
A,B = A,C
podemos escrever
A,(B - C) = 0
Se det(A)neq 0, então A é invertível e multiplicando à esquerda por A^-1 teríamos
B - C = A^-10 = 0 Longrightarrow B = C,
o que contradiz Bneq C. Logo, não é possível ter det(A)neq 0 num exemplo com Bneq C.

Passo 3

Para construir um exemplo, escolhemos A singular (ou seja, det(A)=0) e fazemos com que B-C seja não nulo mas esteja no núcleo de A. Por exemplo, seja
A = 1 & 0 0 & 0 , B = 0 & 0 1 & 0 , C = 0 & 0 0 & 1
Então
A,B = 1 & 0 0 & 0 0 & 0 1 & 0 = 0 & 0 0 & 0 e A,C = 0 & 0 0 & 0 ,
logo A,B = A,C, embora Bneq C. Note que det(A)=0.

Resposta

A = 1 & 0 0 & 0 , B = 0 & 0 1 & 0 , C = 0 & 0 0 & 1 ,
e não é possível ter um exemplo com det(A)neq 0.

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