Considere o sistema lx+2 y+3 z=24 2 x+y+3 z=48 3 x+2 y+z=60
(a) Escreva o sistema na forma matricial, A X=b
(b) Justifique que o sistema pode ser resolvido por inversão e determine a solução X por esse método.

Passo 1

O enunciado dá um sistema de três equações lineares em três incógnitas:
O conteúdo aqui é representação matricial de sistemas lineares e solução pelo método da inversa de matriz. Vamos escrever , verificar que (logo é invertível) e então usar .

Passo 2

Para pôr o sistema na forma matricial , identificamos
Assim temos

Passo 3

O sistema pode ser resolvido por inversão exatamente quando A é invertível, isto é, quando det(A)neq0. Vamos calcular
det(A) =1cdotdet1&32&1 -2cdotdet2&33&1 +3cdotdet2&13&2
Calculando cada menor:
det1&32&1=1cdot1-3cdot2=-5, det2&33&1=2cdot1-3cdot3=-7,
det2&13&2=2cdot2-1cdot3=1
Logo
det(A)=1cdot(-5)-2cdot(-7)+3cdot1=-5+14+3=12neq0
Portanto A é invertível e podemos usar X=A^-1b.

Passo 4

Para encontrar A^-1 usamos a adjunta. Os cofatores de A formam a matriz
Cof(A)= -5 & 7 & 1 4 & -8 & 4 3 & 3 & -3 ,
e a adjunta é adj(A)=(Cof(A))^T. Assim
A^-1=1det(A),adj(A) =112 -5 & 4 & 3 7 & -8 & 3 1 & 4 & -3

Passo 5

Agora calculamos X = A^-1b. Primeiro
adj(A),b = -5 & 4 & 3 7 & -8 & 3 1 & 4 & -3 244860 = -5cdot24 +4cdot48 +3cdot60 7cdot24 -8cdot48 +3cdot60 1cdot24 +4cdot48 -3cdot60 = 252-3636
Dividindo por 12, obtemos
X = A^-1b = 112 252-3636 = 21-33

Resposta

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