Considere o seguinte sistema linear:
r x+3 y+z=1 -x-2 y+2 z=1 -x-3 y=1
a) ( 1,0 pt ) Denotando por C a matriz dos coeficientes do sitema acima, calcule o determinante de C.
b) (1,0 pt) Determine C^-1.
c) (0,5 pt) Encontre a solução do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear juntos! O enunciado nos dá um sistema com três equações e três incógnitas:
r x + 3y + z = 1 -x - 2y + 2z = 1 -x - 3y = 1
Vamos precisar trabalhar com matrizes para calcular o determinante, a inversa da matriz dos coeficientes e, por fim, encontrar a solução do sistema. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como determinantes, matrizes inversas e regra de Cramer.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz dos coeficientes do sistema, que chamamos de C . Essa matriz é formada pelos coeficientes das incógnitas x , y e z nas três equações:
C = 1 & 3 & 1 -1 & -2 & 2 -1 & -3 & 0

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz C . O determinante nos ajuda a saber se a matriz é invertível e também é usado na regra de Cramer para resolver o sistema.
Para uma matriz 3x3, o determinante é calculado assim:
det(C) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde:
C = a & b & c d & e & f g & h & i
Aplicando os valores da nossa matriz:
det(C) = 1((-2)(0) - (2)(-3)) - 3((-1)(0) - (2)(-1)) + 1((-1)(-3) - (-2)(-1))
Calculando passo a passo:
  1. Primeiro termo: 1(0 + 6) = 6
  2. Segundo termo: -3(0 + 2) = -6
  3. Terceiro termo: 1(3 - 2) = 1
Somando tudo:
6 - 6 + 1 = 1

Passo 4

Então, o determinante da matriz C é 1. Como o determinante é diferente de zero, sabemos que a matriz C é invertível, o que significa que podemos encontrar C^-1 .

Passo 5

Para encontrar a inversa da matriz C , usamos a fórmula:
C^-1 = 1det(C) cdot adj(C)
Onde adj(C) é a adjunta da matriz C . Mas como o determinante é 1, a inversa será simplesmente a adjunta de C .
Primeiro, vamos calcular a matriz dos cofatores de C :
Cada entrada Cij da adjunta é o cofator correspondente transposto. Vamos calcular cada cofator:
  1. Cofator C11 = (-1)^1+1 cdot det -2 & 2 -3 & 0 = 1 cdot ((-2)(0) - (2)(-3)) = 6
  2. Cofator C12 = (-1)^1+2 cdot det -1 & 2 -1 & 0 = -1 cdot ((-1)(0) - (2)(-1)) = -2
  3. Cofator C13 = (-1)^1+3 cdot det -1 & -2 -1 & -3 = 1 cdot ((-1)(-3) - (-2)(-1)) = 1
  4. Cofator C21 = (-1)^2+1 cdot det 3 & 1 -3 & 0 = -1 cdot (3 cdot 0 - 1 cdot (-3)) = -3
  5. Cofator C22 = (-1)^2+2 cdot det 1 & 1 -1 & 0 = 1 cdot (1 cdot 0 - 1 cdot (-1)) = 1
  6. Cofator C23 = (-1)^2+3 cdot det 1 & 3 -1 & -3 = -1 cdot (1 cdot (-3) - 3 cdot (-1)) = 0
  7. Cofator C31 = (-1)^3+1 cdot det 3 & 1 -2 & 2 = 1 cdot (3 cdot 2 - 1 cdot (-2)) = 8
  8. Cofator C32 = (-1)^3+2 cdot det 1 & 1 -1 & 2 = -1 cdot (1 cdot 2 - 1 cdot (-1)) = -3
  9. Cofator C33 = (-1)^3+3 cdot det 1 & 3 -1 & -2 = 1 cdot (1 cdot (-2) - 3 cdot (-1)) = 1
Então, a matriz dos cofatores é:
Cof(C) = 6 & -2 & 1 -3 & 1 & 0 8 & -3 & 1
Agora, a adjunta de C é a transposta da matriz dos cofatores:
adj(C) = 6 & -3 & 8 -2 & 1 & -3 1 & 0 & 1
Portanto, a inversa de C é:
C^-1 = 11 cdot 6 & -3 & 8 -2 & 1 & -3 1 & 0 & 1 = 6 & -3 & 8 -2 & 1 & -3 1 & 0 & 1

Passo 6

Agora que temos C^-1 , podemos encontrar a solução do sistema usando a fórmula:
x = C^-1 cdot b
Onde b é o vetor dos termos independentes do sistema:
b = 1 1 1
Vamos multiplicar C^-1 por b :
x = 6 & -3 & 8 -2 & 1 & -3 1 & 0 & 1 cdot 1 1 1
Fazendo a multiplicação:
  1. Primeira linha: 6 cdot 1 + (-3) cdot 1 + 8 cdot 1 = 6 - 3 + 8 = 11
  2. Segunda linha: -2 cdot 1 + 1 cdot 1 + (-3) cdot 1 = -2 + 1 - 3 = -4
  3. Terceira linha: 1 cdot 1 + 0 cdot 1 + 1 cdot 1 = 1 + 0 + 1 = 2

Resposta

A solução do sistema é:
x = 11 y = -4 z = 2

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