a) ( 1,0 pt ) Denotando por C a matriz dos coeficientes do sitema acima, calcule o determinante de C.
b) (1,0 pt) Determine C^-1.
c) (0,5 pt) Encontre a solução do sistema.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema linear juntos! O enunciado nos dá um sistema com três equações e três incógnitas:
r x + 3y + z = 1 -x - 2y + 2z = 1 -x - 3y = 1
Vamos precisar trabalhar com matrizes para calcular o determinante, a inversa da matriz dos coeficientes e, por fim, encontrar a solução do sistema. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como determinantes, matrizes inversas e regra de Cramer.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz dos coeficientes do sistema, que chamamos de C . Essa matriz é formada pelos coeficientes das incógnitas x , y e z nas três equações:
C = 1 & 3 & 1 -1 & -2 & 2 -1 & -3 & 0
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz C . O determinante nos ajuda a saber se a matriz é invertível e também é usado na regra de Cramer para resolver o sistema.
Para uma matriz 3x3, o determinante é calculado assim:
Então, o determinante da matriz C é 1. Como o determinante é diferente de zero, sabemos que a matriz C é invertível, o que significa que podemos encontrar C^-1 .
Passo 5
Para encontrar a inversa da matriz C , usamos a fórmula:
C^-1 = 1det(C) cdot adj(C)
Onde adj(C) é a adjunta da matriz C . Mas como o determinante é 1, a inversa será simplesmente a adjunta de C .
Primeiro, vamos calcular a matriz dos cofatores de C :
Cada entrada Cij da adjunta é o cofator correspondente transposto. Vamos calcular cada cofator: