(2,5 pts) Considere a matriz A=[cc1 & 2 -1 & 0]. Determine todas as matrizes
B=[cc x & y z & w ] tais que A B=B A e Tr(B)=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar todas as matrizes B que comutam com a matriz A dada e que têm traço zero. A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, mais especificamente sobre comutatividade de matrizes e traço de uma matriz. Para resolver isso, vamos precisar usar as definições de multiplicação de matrizes, comutatividade AB = BA e a propriedade do traço Tr(B) = 0 .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as duas matrizes envolvidas:
A = 1 & 2 -1 & 0, B = x & y z & w

Passo 3

Para que A e B comutem, precisamos que AB = BA . Vamos calcular ambas as multiplicações.
Primeiro, AB :
AB = 1 & 2 -1 & 0 x & y z & w = 1 cdot x + 2 cdot z & 1 cdot y + 2 cdot w -1 cdot x + 0 cdot z & -1 cdot y + 0 cdot w = x + 2z & y + 2w -x & -y
Agora, BA :
BA = x & y z & w 1 & 2 -1 & 0 = x cdot 1 + y cdot (-1) & x cdot 2 + y cdot 0 z cdot 1 + w cdot (-1) & z cdot 2 + w cdot 0 = x - y & 2x z - w & 2z

Passo 4

Agora, igualamos as duas matrizes AB e BA :
x + 2z & y + 2w -x & -y = x - y & 2x z - w & 2z
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
  1. x + 2z = x - y 2z = -y y = -2z
  2. y + 2w = 2x
  3. -x = z - w
  4. -y = 2z (que já vimos que confirma y = -2z )

Passo 5

Além disso, temos que o traço de B é zero:
Tr(B) = x + w = 0 Rightarrow w = -x

Passo 6

Vamos usar as relações que já encontramos para expressar todas as variáveis em termos de uma delas, por exemplo, x .
Sabemos que y = -2z e w = -x .
Usando a segunda equação do sistema:
-2z + 2(-x) = 2x Rightarrow -2z - 2x = 2x Rightarrow -2z = 4x Rightarrow z = -2x

Passo 7

Agora que temos z = -2x , podemos encontrar y :
y = -2z = -2(-2x) = 4x
E já sabemos que w = -x .

Passo 8

Com todas as variáveis expressas em termos de x , podemos escrever a matriz B :
B = x & y z & w = x & 4x -2x & -x = x 1 & 4 -2 & -1

Resposta

Todas as matrizes B que satisfazem AB = BA e Tr(B) = 0 são da forma
B = x 1 & 4 -2 & -1
onde x é um número real qualquer.

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