(2,5 pts) Considere a matriz . Determine todas as matrizes
B=[cc x & y z & w ] tais que A B=B A e Tr(B)=0
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar todas as matrizes B que comutam com a matriz A dada e que têm traço zero. A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, mais especificamente sobre comutatividade de matrizes e traço de uma matriz. Para resolver isso, vamos precisar usar as definições de multiplicação de matrizes, comutatividade AB = BA e a propriedade do traço Tr(B) = 0 .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as duas matrizes envolvidas:
A = 1 & 2 -1 & 0, B = x & y z & w
Passo 3
Para que A e B comutem, precisamos que AB = BA . Vamos calcular ambas as multiplicações.
Primeiro, AB :
AB = 1 & 2 -1 & 0 x & y z & w = 1 cdot x + 2 cdot z & 1 cdot y + 2 cdot w -1 cdot x + 0 cdot z & -1 cdot y + 0 cdot w = x + 2z & y + 2w -x & -y
Agora, BA :
BA = x & y z & w 1 & 2 -1 & 0 = x cdot 1 + y cdot (-1) & x cdot 2 + y cdot 0 z cdot 1 + w cdot (-1) & z cdot 2 + w cdot 0 = x - y & 2x z - w & 2z
Passo 4
Agora, igualamos as duas matrizes AB e BA :
x + 2z & y + 2w -x & -y = x - y & 2x z - w & 2z
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
x + 2z = x - y ⟹ 2z = -y ⟹ y = -2z
y + 2w = 2x
-x = z - w
-y = 2z (que já vimos que confirma y = -2z )
Passo 5
Além disso, temos que o traço de B é zero:
Tr(B) = x + w = 0 Rightarrow w = -x
Passo 6
Vamos usar as relações que já encontramos para expressar todas as variáveis em termos de uma delas, por exemplo, x .