O sistema lk^2 x-y=0 x+k y=0 nas incógnitas x e yó
a) é impossivel se k neq-1
b) admite apenas a soluçào trivial se k=1
c) é possível e indeterminado se k=-1
d) é impossivel para todo k real
e) admite apenas a soluçào trivial para todo k real.

Passo 1

O sistema é homogêneo em x e y com parâmetro k. O conteúdo é resolução de sistemas lineares pelo determinante da matriz de coeficientes. Para classificar as soluções, vamos montar a matriz do sistema, calcular seu determinante De<a e analisar os casos De<aneq0 (solução única) e De<a=0 (infinitas soluções).

Passo 2

A matriz dos coeficientes é
A = k^2 & -1 1 & k
O determinante é
De<a = det(A) = k^2cdot k - (-1)cdot1 = k^3 + 1

Passo 3

Se De<aneq0, ou seja, k^3+1neq0, temos sistema homógeneo com posto completo e, portanto, única solução trivial
x=0, y=0
A condição De<aneq0 equivale a
k^3 neq -1Long<=ftrightarrow kneq -1

Passo 4

Se De<a=0, ou seja, k^3+1=0, então k=-1. Nesse caso a matriz A fica de posto 1 e o sistema homogêneo tem infinitas soluções não triviais (sistema possível e indeterminado).

Passo 5

Das alternativas, apenas a que diz que o sistema é possível e indeterminado para k=-1 está correta.

Resposta

(c)

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