O sistema
a) é impossivel se
b) admite apenas a soluçào trivial se
c) é possível e indeterminado se
d) é impossivel para todo real
e) admite apenas a soluçào trivial para todo real.
Passo 1
O sistema é homogêneo em e com parâmetro . O conteúdo é resolução de sistemas lineares pelo determinante da matriz de coeficientes. Para classificar as soluções, vamos montar a matriz do sistema, calcular seu determinante e analisar os casos (solução única) e (infinitas soluções).
Passo 2
A matriz dos coeficientes é
O determinante é
De<a = det(A) = k^2cdot k - (-1)cdot1 = k^3 + 1
Passo 3
Se De<aneq0, ou seja, k^3+1neq0, temos sistema homógeneo com posto completo e, portanto, única solução trivial
x=0, y=0
A condição De<aneq0 equivale a
k^3 neq -1Long<=ftrightarrow kneq -1
Passo 4
Se De<a=0, ou seja, k^3+1=0, então k=-1. Nesse caso a matriz A fica de posto 1 e o sistema homogêneo tem infinitas soluções não triviais (sistema possível e indeterminado).
Passo 5
Das alternativas, apenas a que diz que o sistema é possível e indeterminado para k=-1 está correta.