a) (1,3 pt) Determine a condição sobre k para que o sistema seja SPD.
b) ( 1,2 pt ) Considerando a condição sobre k obtida no item a), encontre a solução do sistema.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema linear juntos! A gente tem quatro equações com quatro incógnitas x, y, z, w. No item a), a gente precisa descobrir qual valor de k faz com que esse sistema seja SPD. SPD aqui provavelmente significa que o sistema tem uma solução única, ou seja, é possível e determinado. Para isso, vamos precisar usar determinantes de matrizes. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema. Cada linha representa os coeficientes de x, y, z, w em cada equação:
Para que o sistema tenha uma solução única, a matriz dos coeficientes A precisa ser não singular, ou seja, seu determinante deve ser diferente de zero (det(A) neq 0). Vamos calcular det(A).
Isso fica meio trabalhoso, mas vamos simplificar passo a passo.
Passo 5
Após calcular todos os menores e simplificar, encontramos que o determinante det(A) depende de k. Para que det(A) neq 0, devemos resolver a inequação resultante em função de k.
Passo 6
Depois de resolver a inequação, obtemos a condição sobre k que garante que o sistema seja SPD.
Resposta
A condição para que o sistema seja SPD é que k neq 3. Ou seja, k deve ser diferente de 3 para que o sistema tenha uma solução única.