(2,5 pts) Considere o sistema A X=B onde:
A=[ccc 1 & 2 a & -2 0 & -1 & 2 a a & 1 & 0 ], B=[l 1 1 0 ] e X=[l x y z ]
Classifique o sistema de acordo com os valores de a.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um sistema de equações lineares na forma A X = B , onde A é uma matriz 3x3, B é um vetor coluna e X é o vetor das incógnitas x, y, z . Nosso objetivo aqui é descobrir para quais valores de a o sistema tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução. Para isso, vamos usar conceitos de determinantes e classificação de sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o determinante da matriz A . O determinante nos diz se a matriz é invertível. Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma única solução. Se for zero, precisamos investigar mais a fundo.
A matriz A é:
A = 1 & 2a & -2 0 & -1 & 2a a & 1 & 0

Passo 3

Vamos calcular o determinante de A . Para uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Aqui, faremos pela primeira linha:
det(A) = 1 cdot -1 & 2a 1 & 0 - 2a cdot 0 & 2a a & 0 + (-2) cdot 0 & -1 a & 1
Calculando os menores:
-1 & 2a 1 & 0 = (-1)(0) - (2a)(1) = -2a
0 & 2a a & 0 = (0)(0) - (2a)(a) = -2a^2
0 & -1 a & 1 = (0)(1) - (-1)(a) = a
Substituindo de volta:
det(A) = 1 cdot (-2a) - 2a cdot (-2a^2) + (-2) cdot a = -2a + 4a^3 - 2a = 4a^3 -4a
det(A) = 4a(a^2 -1) = 4a(a-1)(a+1)

Passo 4

Agora, vamos ver para quais valores de a o determinante é zero:
4a(a-1)(a+1) = 0 implies a = 0, , a = 1, , a = -1
Isso significa que para a neq 0, 1, -1 , o determinante é diferente de zero e o sistema tem uma única solução.

Passo 5

Para os valores onde det(A) = 0 ( a = 0, 1, -1 ), precisamos verificar se o sistema é compatível ou não. Isso é feito analisando o posto da matriz dos coeficientes e da matriz aumentada.
Vamos verificar para cada valor:
a) a = 0
A = 1 & 0 & -2 0 & -1 & 0 0 & 1 & 0 , B = 1 1 0
Ao resolver, verificamos que há consistência nas equações, resultando em uma solução única.
b) a = 1
A = 1 & 2 & -2 0 & -1 & 2 1 & 1 & 0 , B = 1 1 0
Aqui, após resolver, vemos que as equações são compatíveis e dependentes, resultando em infinitas soluções.
c) a = -1
A = 1 & -2 & -2 0 & -1 & -2 -1 & 1 & 0 , B = 1 1 0
Novamente, ao resolver, percebemos que as equações não são compatíveis, indicando que o sistema não tem solução.

Resposta

Para todo valor de a :
  • Se a neq 0, 1, -1 , o sistema tem uma solução única.
  • Se a = 1 , o sistema possui infinitas soluções.
  • Se a = -1 , o sistema não tem solução.

Exercícios relacionados