Classifique o sistema de acordo com os valores de a.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um sistema de equações lineares na forma A X = B , onde A é uma matriz 3x3, B é um vetor coluna e X é o vetor das incógnitas x, y, z . Nosso objetivo aqui é descobrir para quais valores de a o sistema tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução. Para isso, vamos usar conceitos de determinantes e classificação de sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular o determinante da matriz A . O determinante nos diz se a matriz é invertível. Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma única solução. Se for zero, precisamos investigar mais a fundo.
A matriz A é:
A = 1 & 2a & -2 0 & -1 & 2a a & 1 & 0
Passo 3
Vamos calcular o determinante de A . Para uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Aqui, faremos pela primeira linha:
Agora, vamos ver para quais valores de a o determinante é zero:
4a(a-1)(a+1) = 0 implies a = 0, , a = 1, , a = -1
Isso significa que para a neq 0, 1, -1 , o determinante é diferente de zero e o sistema tem uma única solução.
Passo 5
Para os valores onde det(A) = 0 ( a = 0, 1, -1 ), precisamos verificar se o sistema é compatível ou não. Isso é feito analisando o posto da matriz dos coeficientes e da matriz aumentada.
Vamos verificar para cada valor:
a) a = 0
A = 1 & 0 & -2 0 & -1 & 0 0 & 1 & 0 , B = 1 1 0
Ao resolver, verificamos que há consistência nas equações, resultando em uma solução única.
b) a = 1
A = 1 & 2 & -2 0 & -1 & 2 1 & 1 & 0 , B = 1 1 0
Aqui, após resolver, vemos que as equações são compatíveis e dependentes, resultando em infinitas soluções.