(2 pontos) Considere os subespaços vetoriais de V=R^4, W1=>=r[l2 2 0 2],[l0 1 1 1],[c3 0 -3 0]
e W2=>=r[l1 2 1 2],[c-1 1 2 1]. Determine se W1=W2 ou não:
Resposta: W1=W2 pois as equações que definem os dois subespaços são iguais.
Solução: Vamos encontrar as equações que definem W1:

Passo 1

O enunciado dá dois subespaços de R^4:
W1=spanv1,v2,v3 com
v1 = 2202, v2 = 0111, v3 = 30-30,
e
W2=spanw1,w2 com
w1 = 1212, w2 = -1121
Queremos decidir se W1=W2 Vamos achar as equações lineares que definem W1, mostrar que dim W1=2 e que w1,w2 satisfazem essas mesmas equações e são independentes, concluindo a igualdade.

Passo 2

Seja x=(x1,x2,x3,x4)in W1. Então existem a,b,cinR tais que
x ;=; a,v1 ;+; b,v2 ;+; c,v3 ;=; 2a+0b+3c 2a+b+0c 0a+b-3c 2a+b+0c
Dessas componentes obtemos as relações
x4 ;=; 2a+b ;=; x2, x1-x2+x3 ;=; (2a+3c) - (2a+b) + (b-3c) ;=;0

Passo 3

Logo
W1 = ,xinR^4mid x4-x2=0,;x1-x2+x3=0
Como são duas equações lineares independentes em R^4, tem-se
dim W1 = 4 - 2 = 2

Passo 4

Agora verificamos os geradores de W2 nas mesmas equações:
Para w1=(1,2,1,2) temos
;2-2=0 e ;1-2+1=0.
Para w2=(-1,1,2,1) temos
;1-1=0 e ;-1-1+2=0.
Portanto w1,w2in W1. Além disso w1,w2 são independentes (logo dim W2=2). Assim W2subseteq W1 e dim W2=dim W1, implicando
W2 = W1

Resposta

W1=W2

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