Considere o seguinte sistema:
l x+y+z=a x-y-z=b 2 x+y+z=c
Por meio do Método de Eliminação de Gauss Jordan, determine uma condição, relativa a a, b e c, de tal modo que o sistema tenha solução.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
x+y+z=a, x-y-z=b, 2x+y+z=c,
e pede uma condição entre a, b e c para que o sistema seja consistente (tenha solução). Vamos usar o Método de Eliminação de Gauss–Jordan para identificar essa condição de consistência.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada do sistema e aplicamos operações de linha:
[ccc|c 1 & 1 & 1 & a 1 & -1 & -1 & b 2 & 1 & 1 & c ]
Subtraímos a linha 1 da linha 2 e 2 vezes a linha 1 da linha 3:
[ccc|c 1 & 1 & 1 & a 0 & -2 & -2 & b-a 0 & -1 & -1 & c-2a ]

Passo 3

Dividimos a linha 2 por -2 para pivoteá-la:
[ccc|c 1 & 1 & 1 & a 0 & 1 & 1 & a-b2 0 & -1 & -1 & c-2a ]
Somamos a linha 2 à linha 3 para zerar toda a terceira linha:
[ccc|c 1 & 1 & 1 & a 0 & 1 & 1 & a-b2 0 & 0 & 0 & l(c-2ar)+a-b2 ]
O termo independente na terceira linha fica
(c-2a)+a-b2 =2(c-2a)+a-b2 =2c-4a+a-b2 =2c -3a -b2

Passo 4

Para que o sistema não apresente uma linha do tipo [0;0;0mid d] com dneq0, é preciso que
2c-3a-b=0,
ou seja
b+c-3a=0

Resposta

A condição para o sistema ter solução é
b + c - 3a = 0

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