Verifique se a aplicação T: R^2 R^2 dada por T(x, y)=(2 x,-3 y) é linear.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa verificar se a aplicação T: R^2 R^2 definida por T(x, y) = (2x, -3y) é uma transformação linear. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre transformações lineares. Para resolver isso, vamos checar se T preserva a adição de vetores e a multiplicação por escalar, que são as propriedades fundamentais de uma transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função T é linear se, para quaisquer vetores u e v em R^2 e qualquer escalar c , as seguintes duas condições são verdadeiras:
  1. T(u + v) = T(u) + T(v)
  2. T(cu) = cT(u)
Vamos verificar cada uma dessas condições para a nossa aplicação T .

Passo 3

Primeiro, vamos verificar a condição de adição. Seja u = (x1, y1) e v = (x2, y2) . Então:
T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = (2(x1 + x2), -3(y1 + y2)) = (2x1 + 2x2, -3y1 - 3y2)
Agora, vamos calcular T(u) + T(v) :
T(u) + T(v) = (2x1, -3y1) + (2x2, -3y2) = (2x1 + 2x2, -3y1 - 3y2)
Vimos que:
T(u + v) = T(u) + T(v)
Então, a condição de adição está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a condição de multiplicação por escalar. Seja c um escalar e u = (x, y) . Então:
T(cu) = T(cx, cy) = (2(cx), -3(cy)) = (c cdot 2x, c cdot (-3y)) = c(2x, -3y) = cT(u)
Então, também temos:
T(cu) = cT(u)
A condição de multiplicação por escalar está satisfeita.

Resposta

Como as duas condições para uma transformação linear são atendidas, concluímos que a aplicação T(x, y) = (2x, -3y) é linear.

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