Verifique se a aplicação
dada por
é linear.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa verificar se a aplicação
definida por
é uma transformação linear. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre transformações lineares. Para resolver isso, vamos checar se
preserva a adição de vetores e a multiplicação por escalar, que são as propriedades fundamentais de uma transformação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função
é linear se, para quaisquer vetores
e
em
e qualquer escalar
, as seguintes duas condições são verdadeiras:
Vamos verificar cada uma dessas condições para a nossa aplicação
.
Passo 3
Primeiro, vamos verificar a condição de adição. Seja
e
. Então:
Agora, vamos calcular
:
Vimos que:
Então, a condição de adição está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a condição de multiplicação por escalar. Seja
um escalar e
. Então:
Então, também temos:
A condição de multiplicação por escalar está satisfeita.
Resposta
Como as duas condições para uma transformação linear são atendidas, concluímos que a aplicação
é linear.