Considere a seguinte situação problema: Entre os 800 candidatos que participam de um concurso, precisamente, 380 falam inglês, 260 falam francês e 140 falam às duas línguas. Ao acaso escolhe-se um desses candidatos que participam desse concurso, qual a probabilidade de ele falar francês ou inglês?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (peguei estes números do enunciado):
- Total de candidatos:
. - Número que falam inglês:
. - Número que falam francês:
. - Número que falam as duas línguas:
.
O enunciado pergunta: qual a probabilidade de, escolhendo um candidato ao acaso, ele falar francês ou inglês (ou seja, falar pelo menos uma das duas línguas)?
Passo 2
Definir eventos e lembrar a fórmula que vamos usar.
- Seja
o evento “fala inglês” e o evento “fala francês”. - A probabilidade clássica de um evento é o número de casos favoráveis dividido pelo número total de casos possíveis. Aqui o espaço amostral tem tamanho
. - Para contar quantos falam “francês ou inglês” usamos a regra da união de dois conjuntos:
Explicando: somamos quem fala inglês e quem fala francês, mas quem fala as duas línguas foi contado duas vezes, então subtraímos uma vez para corrigir a contagem.
Passo 3
Pequena ilustração intuitiva do motivo da subtração (para fixar a ideia).
- Imagine 3 pessoas: A fala só inglês, B fala só francês, C fala ambas. Se você somar “quem fala inglês” (A e C → 2) com “quem fala francês” (B e C → 2) obtém 4, mas na realidade há só 3 pessoas distintas. O elemento C foi contado duas vezes, por isso subtrai-se
uma vez.
Passo 4
Aplicar a fórmula usando os números do enunciado (peguei os valores do enunciado):
-
. -
. -
.
Portanto o número que fala pelo menos uma das línguas é
Passo 5
Calcular a contagem e a probabilidade passo a passo:
A probabilidade pedida é o número favorável dividido pelo total:
Simplificando a fração:
Passo 6
Expressar em decimal e porcentagem (úteis para interpretar a resposta):
ou seja
Interpretação final: se escolher um candidato ao acaso, a chance de ele falar francês ou inglês é
.