Uma urna I contém 2 bolas vermelhas e 3 bolas brancas, a urna II contém 4 bolas vermelhas e 5 bolas brancas. Uma urna é escolhida ao acaso e dela uma bola é extraída ao acaso. Qual a probabilidade de observarmos a urna I e bola vermelha?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Urna I contém
bolas vermelhas e bolas brancas. - Urna II contém
bolas vermelhas e bolas brancas. - Uma urna é escolhida ao acaso (entre as duas) e, a partir dela, uma bola é extraída ao acaso.
A pergunta que devemos responder é: qual a probabilidade de que tenha sido escolhida a urna I e que a bola extraída seja vermelha? Em termos de eventos, queremos
.
Passo 2
Vamos formalizar os eventos para ficar claro:
- Seja
o evento “foi escolhida a urna I”. - Seja
o evento “a bola extraída é vermelha”.
O que nos pedem é a probabilidade do evento conjunto
, isto é
.
A regra básica que usamos aqui (regra do produto para probabilidades) diz que, para dois eventos
e
,
onde
é a probabilidade de
ocorrer sabendo que
ocorreu (probabilidade condicional). Em palavras: a probabilidade de acontecerem ambos os fatos é a probabilidade do primeiro fato vezes a probabilidade do segundo fato dado que o primeiro já aconteceu.
Passo 3
Calcular
: como a urna é escolhida ao acaso entre as duas urnas, cada urna tem probabilidade igual de ser escolhida. Portanto
Explicação rápida: “ao acaso” entre duas opções = probabilidade
para cada.
Passo 4
Calcular
: isto é, a probabilidade de retirar uma bola vermelha dado que escolhemos a urna I. Na urna I há
bolas vermelhas e
brancas, totalizando
bolas. A probabilidade de sorteio de uma vermelha é a razão entre o número de casos favoráveis e o total:
Explicação: em um sorteio aleatório sem distinção entre as bolas, cada bola é igualmente provável; então probabilidade = número de vermelhas dividido pelo total.
Passo 5
Aplicando a regra do produto:
Calculemos passo a passo:
Em forma decimal,
Passo 6
Interpretação final rápida (dica de prova): quando o problema pedir “urna I e bola vermelha” pense em probabilidade conjunta e use
. Isso vale sempre que você modela a experiência como primeiro escolher a urna e depois tirar a bola.