Uma urna I contém 2 bolas vermelhas e 3 bolas brancas, a urna II contém 4 bolas vermelhas e 5 bolas brancas. Uma urna é escolhida ao acaso e dela uma bola é extraída ao acaso. Qual a probabilidade de observarmos a urna I e bola vermelha?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Urna I contém 2 bolas vermelhas e 3 bolas brancas.
  • Urna II contém 4 bolas vermelhas e 5 bolas brancas.
  • Uma urna é escolhida ao acaso (entre as duas) e, a partir dela, uma bola é extraída ao acaso.
A pergunta que devemos responder é: qual a probabilidade de que tenha sido escolhida a urna I e que a bola extraída seja vermelha? Em termos de eventos, queremos P(\text{Urna I e bola vermelha}).

Passo 2

Vamos formalizar os eventos para ficar claro:
  • Seja A o evento “foi escolhida a urna I”.
  • Seja R o evento “a bola extraída é vermelha”.
O que nos pedem é a probabilidade do evento conjunto A\cap R, isto é P(A\cap R).
A regra básica que usamos aqui (regra do produto para probabilidades) diz que, para dois eventos A e R,
P(A\cap R)=P(A)\,P(R\mid A),
onde P(R\mid A) é a probabilidade de R ocorrer sabendo que A ocorreu (probabilidade condicional). Em palavras: a probabilidade de acontecerem ambos os fatos é a probabilidade do primeiro fato vezes a probabilidade do segundo fato dado que o primeiro já aconteceu.

Passo 3

Calcular P(A): como a urna é escolhida ao acaso entre as duas urnas, cada urna tem probabilidade igual de ser escolhida. Portanto
P(A)=\tfrac{1}{2}.
Explicação rápida: “ao acaso” entre duas opções = probabilidade 1/2 para cada.

Passo 4

Calcular P(R\mid A): isto é, a probabilidade de retirar uma bola vermelha dado que escolhemos a urna I. Na urna I há 2 bolas vermelhas e 3 brancas, totalizando 2+3=5 bolas. A probabilidade de sorteio de uma vermelha é a razão entre o número de casos favoráveis e o total:
P(R\mid A)=\frac{2}{5}.
Explicação: em um sorteio aleatório sem distinção entre as bolas, cada bola é igualmente provável; então probabilidade = número de vermelhas dividido pelo total.

Passo 5

Aplicando a regra do produto:
P(A\cap R)=P(A)\,P(R\mid A)=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{2}{5}.
Calculemos passo a passo:
\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{2}{5}=\tfrac{2}{10}=\tfrac{1}{5}.
Em forma decimal,
\tfrac{1}{5}=0,2.

Passo 6

Interpretação final rápida (dica de prova): quando o problema pedir “urna I e bola vermelha” pense em probabilidade conjunta e use P(A\cap R)=P(A)P(R\mid A). Isso vale sempre que você modela a experiência como primeiro escolher a urna e depois tirar a bola.

Resposta

\tfrac{1}{5}=0,2

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