Considere o seguinte subconjunto D4 de S4 :
D4= & binom12341234,binom12342341,binom12343412,binom12344123, & binom12344321,binom12342143,binom12341432,binom12343214
Mostre que D4<S4.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
D4=le,;r,;r^2,;r^3,;s,;rs,;r^2s,;r^3sr
em que, em notação de permutação em ,S4:
e=binom12341234, r=binom12342341, r^2=binom12343412, r^3=binom12344123,
s=binom12342143, rs=binom12341432, r^2s=binom12344321, r^3s=binom12343214
O objetivo é mostrar que D4 é subgrupo de S4. Para isso vamos usar o fato de que D4 tem oito elementos e exibir identidade, inversos e fechar sob composição.

Passo 2

Verificamos que a identidade
e=binom12341234
está em D4. Logo D4 não é vazio e contém o elemento neutro de S4.

Passo 3

Mostramos que todo elemento de D4 tem inverso em D4.
  1. As rotações r^k satisfazem (r^k)^-1=r^4-k, e de fato r^3,r^2,rin D4.
  2. As reflexões r^k s satisfazem l(r^k sr)^-1=s,r^-k=r^k s, pois s^2=e. Logo cada r^k s é involutória e seu próprio inverso e pertence a D4.

Passo 4

Mostramos fechamento sob composição. Temos três tipos de produto em D4:
  1. Duas rotações:
r^icirc r^j = r^i+j bmod 4inr^0,r^1,r^2,r^3
  1. Rotação seguida de reflexão:
r^icirc(r^j s)=r^i+jsinr^k s
  1. Reflexão seguida de rotação:
(r^i s)circ r^j = r^i(sr^j) = r^i(r^-js)=r^i-jsinr^k s
  1. Duas reflexões:
(r^i s)circ(r^j s)=r^i(sr^j)s=r^i r^-j = r^i-jinr^k
Em cada caso o produto fica em D4, portanto D4 é fechado sob composição.

Passo 5

Concluímos que D4subset S4 contém o elemento neutro, é fechado sob inversos e sob produto. Logo, por definição,
D4 é subgrupo de S4.

Resposta

Portanto, D4<S4.

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