Considere o seguinte subconjunto
de
:
Mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
em que, em notação de permutação em
:
O objetivo é mostrar que
é subgrupo de
. Para isso vamos usar o fato de que
tem oito elementos e exibir identidade, inversos e fechar sob composição.
Passo 2
Verificamos que a identidade
está em
. Logo
não é vazio e contém o elemento neutro de
.
Passo 3
Mostramos que todo elemento de
tem inverso em
.
- As rotações
satisfazem , e de fato . - As reflexões
satisfazem , pois . Logo cada é involutória e seu próprio inverso e pertence a .
Passo 4
Mostramos fechamento sob composição. Temos três tipos de produto em
:
- Duas rotações:
- Rotação seguida de reflexão:
- Reflexão seguida de rotação:
- Duas reflexões:
Em cada caso o produto fica em
, portanto
é fechado sob composição.
Passo 5
Concluímos que
contém o elemento neutro, é fechado sob inversos e sob produto. Logo, por definição,
é subgrupo de
.
Resposta
Portanto,
.