Seja
(grupo das permutações de 3 elementos).
b) Para cada subgrupo
de
, determinar as suas classes laterais à esquerda e à direita.
b) Para cada subgrupo
Passo 1
O enunciado pede, para cada subgrupo
de
, as classes laterais à esquerda (
) e à direita (
). Vamos usar a definição de coseta de um subgrupo e o fato de que, se
é normal, as classes laterais à esquerda coincidem com as da direita.
Passo 2
Os casos triviais são
e
.
- Se
, então para todo temos
- Se
, então a única classe lateral é em ambos os lados:
Passo 3
O único subgrupo de ordem
é
Ele é de índice
em
, logo é normal, e as duas classes laterais são
Passo 4
Considere o subgrupo de ordem
gerado por
:
As classes laterais à esquerda são
As classes laterais à direita são
além de
.
Passo 5
Para o subgrupo de ordem
gerado por
,
as classes laterais à esquerda são
e as classes à direita são
mais
.
Passo 6
Para o subgrupo de ordem
gerado por
,
as classes laterais à esquerda são
e as classes à direita são
mais
.
Resposta
Para cada subgrupo
de
temos:
- classes à esquerda:
para todo . - classes à direita: idem.
- única classe lateral (à esquerda e à direita):
.
- classes à esquerda (e à direita):
- classes à esquerda:
- classes à direita:
- classes à esquerda:
- classes à direita:
- classes à esquerda:
- classes à direita: