Seja G=S3 (grupo das permutações de 3 elementos).
b) Para cada subgrupo H de S3, determinar as suas classes laterais à esquerda e à direita.

Passo 1

O enunciado pede, para cada subgrupo H de G=S3, as classes laterais à esquerda ( gH) e à direita ( Hg). Vamos usar a definição de coseta de um subgrupo e o fato de que, se H é normal, as classes laterais à esquerda coincidem com as da direita.

Passo 2

Os casos triviais são H=e e H=G.
  • Se H=e, então para todo gin G temos
gH=g, Hg=g
  • Se H=G, então a única classe lateral é G em ambos os lados:
gG=G, Gg=G

Passo 3

O único subgrupo de ordem 3 é
H3=lang<=(1,2,3)rang<==e,,(1,2,3),,(1,3,2)
Ele é de índice 2 em G, logo é normal, e as duas classes laterais são
H3e(1,2)H3=H3(1,2)=(1,2),,(1,3),,(2,3)

Passo 4

Considere o subgrupo de ordem 2 gerado por (1,2):
H1=e,,(1,2)
As classes laterais à esquerda são
eH1=H1=e,,(1,2), (1,3)H1=(1,3),,(1,3)(1,2)=(1,2,3), (2,3)H1=(2,3),,(2,3)(1,2)=(1,3,2)
As classes laterais à direita são
H1(1,3)=(1,3),,(1,2)(1,3)=(1,3,2), H1(2,3)=(2,3),,(1,2)(2,3)=(1,2,3),
além de H1e=H1.

Passo 5

Para o subgrupo de ordem 2 gerado por (1,3),
H2=e,,(1,3),
as classes laterais à esquerda são
eH2=H2, (1,2)H2=(1,2),,(1,2)(1,3)=(1,3,2), (2,3)H2=(2,3),,(2,3)(1,3)=(1,2,3),
e as classes à direita são
H2(1,2)=(1,2),,(1,3)(1,2)=(1,2,3), H2(2,3)=(2,3),,(1,3)(2,3)=(1,3,2),
mais H2e=H2.

Passo 6

Para o subgrupo de ordem 2 gerado por (2,3),
H3'=e,,(2,3),
as classes laterais à esquerda são
eH3'=H3', (1,2)H3'=(1,2),,(1,2)(2,3)=(1,2,3), (1,3)H3'=(1,3),,(1,3)(2,3)=(1,3,2),
e as classes à direita são
H3'(1,2)=(1,2),,(2,3)(1,2)=(1,3,2), H3'(1,3)=(1,3),,(2,3)(1,3)=(1,2,3),
mais H3'e=H3'.

Resposta

Para cada subgrupo H de S3 temos:
1. H=e:
  • classes à esquerda: g para todo gin S3.
  • classes à direita: idem.
2. H=S3:
  • única classe lateral (à esquerda e à direita): S3.
3. H=e,(1,2,3),(1,3,2):
  • classes à esquerda (e à direita):
e,(1,2,3),(1,3,2), (1,2),(1,3),(2,3)
4. H=e,(1,2):
  • classes à esquerda:
e,(1,2),;(1,3),(1,2,3),;(2,3),(1,3,2)
  • classes à direita:
e,(1,2),;(1,3),(1,3,2),;(2,3),(1,2,3)
5. H=e,(1,3):
  • classes à esquerda:
e,(1,3),;(1,2),(1,3,2),;(2,3),(1,2,3)
  • classes à direita:
e,(1,3),;(1,2),(1,2,3),;(2,3),(1,3,2)
6. H=e,(2,3):
  • classes à esquerda:
e,(2,3),;(1,2),(1,2,3),;(1,3),(1,3,2)
  • classes à direita:
e,(2,3),;(1,2),(1,3,2),;(1,3),(1,2,3)

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