Mostre que o conjunto G:=a+b raiz2 in R^* mid a, b in Q, munido do produto
(a+b raiz2) cdot(c+d raiz2)=(a c+2 b d)+(a d+b c) raiz2
é um grupo.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
G = ,a + braiz2in R^*mid a,binQ
com a operação
(a + braiz2)cdot(c + draiz2) = (ac + 2bd) + (ad + bc)raiz2
Queremos mostrar que (G,cdot) é um grupo, isto é, satisfaz: (i) fechamento; (ii) existência de elemento neutro; (iii) existência de inverso para cada elemento; (iv) associatividade.

Passo 2

(Fechamento)
Tomemos x = a + braiz2 e y = c + draiz2 em G. Então
xcdot y = (ac + 2bd) + (ad + bc)raiz2
Como a,b,c,dinQ, segue que ac+2bdinQ e ad+bcinQ. Logo xcdot yin G, provando o fechamento.

Passo 3

(Neutro)
O número real 1 é 1 + 0raiz2 com 1,0inQ, logo 1in G. Verificamos para todo a+braiz2in G:
(1+0raiz2)cdot(a+braiz2) = (1cdot a + 2cdot 0cdot b) + (1cdot b + 0cdot a)raiz2 = a + braiz2,
e o mesmo vale pela direita. Assim, 1 é o elemento neutro.

Passo 4

(Inverso)
Para x = a + braiz2neq 0 em G, considere o “norma”
N(x) = (a + braiz2)(a - braiz2) = a^2 - 2b^2
Se a+braiz2neq 0, então necessariamente N(x)neq 0 (caso contrário teríamos a=-braiz2 com bneq0, contradizendo racionalidade de a). Definimos
x^-1 = a - braiz2a^2 - 2b^2 = aa^2 - 2b^2 + -ba^2 - 2b^2,raiz2
Como os coeficientes são racionais, x^-1in G e claramente xcdot x^-1=1.

Passo 5

(Associatividade)
A operação em G é simplesmente a multiplicação real restrita a esse subconjunto, e a multiplicação em R é associativa. Logo para todos x,y,zin G vale
(xcdot y)cdot z = xcdot (ycdot z)

Resposta

Como encerramos os quatro requisitos (fechamento, neutro, inverso e associatividade), concluímos que (G,cdot) é de fato um grupo.

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