Mostre que o conjunto
, munido do produto
é um grupo.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com a operação
Queremos mostrar que
é um grupo, isto é, satisfaz: (i) fechamento; (ii) existência de elemento neutro; (iii) existência de inverso para cada elemento; (iv) associatividade.
Passo 2
(Fechamento)
Tomemos e
em
. Então
Tomemos
Como
, segue que
e
. Logo
, provando o fechamento.
Passo 3
(Neutro)
O número real é
com
, logo
. Verificamos para todo
:
O número real
e o mesmo vale pela direita. Assim,
é o elemento neutro.
Passo 4
(Inverso)
Para em
, considere o “norma”
Para
Se
, então necessariamente
(caso contrário teríamos
com
, contradizendo racionalidade de
). Definimos
Como os coeficientes são racionais,
e claramente
.
Passo 5
(Associatividade)
A operação em é simplesmente a multiplicação real restrita a esse subconjunto, e a multiplicação em
é associativa. Logo para todos
vale
A operação em
Resposta
Como encerramos os quatro requisitos (fechamento, neutro, inverso e associatividade), concluímos que
é de fato um grupo.