Descreva explicitamente o grupo de permutações
.
Passo 1
O enunciado pede para descrever explicitamente o grupo de permutações
, ou seja, o conjunto de todas as bijeções de
em si mesmo, com a operação de composição. O conteúdo aqui é teoria de grupos finitos e notação de permutações em ciclos.
Passo 2
Uma permutação em
é uma bijeção
. Em vez de escrever
, usamos a notação de ciclos, por exemplo
significa
, e os pontos fixos ficam omitidos.
Passo 3
Em
há exatamente
permutações. Elas se agrupam por tipo de ciclo:
- 1 identidade;
- 6 transposições (ciclos de comprimento 2);
- 3 produtos de duas transposições disjuntas;
- 8 ciclos de comprimento 3;
- 6 ciclos de comprimento 4.
Passo 4
Agora, reunindo todos os casos, vamos listar as 24 permutações de
em ciclo de forma explícita.