Descreva explicitamente o grupo de permutações S4.

Passo 1

O enunciado pede para descrever explicitamente o grupo de permutações S4, ou seja, o conjunto de todas as bijeções de 1,2,3,4 em si mesmo, com a operação de composição. O conteúdo aqui é teoria de grupos finitos e notação de permutações em ciclos.

Passo 2

Uma permutação em 1,2,3,4 é uma bijeção sigma:1,2,3,4to1,2,3,4. Em vez de escrever sigma(1)=2,;sigma(2)=4,dots, usamos a notação de ciclos, por exemplo
(1,2,4)
significa 1mapsto2,;2mapsto4,;4mapsto1, e os pontos fixos ficam omitidos.

Passo 3

Em S4 há exatamente lvert S4rvert=4!=24 permutações. Elas se agrupam por tipo de ciclo:
  • 1 identidade;
  • 6 transposições (ciclos de comprimento 2);
  • 3 produtos de duas transposições disjuntas;
  • 8 ciclos de comprimento 3;
  • 6 ciclos de comprimento 4.

Passo 4

Agora, reunindo todos os casos, vamos listar as 24 permutações de 1,2,3,4 em ciclo de forma explícita.

Resposta

S4= id,, (12),,(13),,(14),,(23),,(24),,(34),, (12)(34),,(13)(24),,(14)(23),, (123),,(132),,(124),,(142),,(134),,(143),,(234),,(243),, (1234),,(1243),,(1324),,(1342),,(1423),,(1432)

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