Considere o seguinte subconjunto de
:
(a) Mostre que
é um subespaço vetorial de
.
(b) Encontre uma base de
.
(c) Qual é a dimensão de
?
(b) Encontre uma base de
(c) Qual é a dimensão de
Passo 1
O enunciado define
e pede:
(a) mostrar que é subespaço de
,
(b) encontrar uma base de ,
(c) determinar .
(a) mostrar que
(b) encontrar uma base de
(c) determinar
Passo 2
Para mostrar que
é subespaço vetorial, usamos o teste de subespaço:
- Não vazio:
satisfaz e , logo . - Fechado sob combinação linear: sejam
e
,
isto é,e para .
Para quaisquer escalares,
.
Então
Logo
.
Portanto, é subespaço de
.
Portanto,
Passo 3
Para achar uma base, resolvemos as restrições:
Logo todo vetor de
tem a forma
Tomando
e
como parâmetros em
,
Passo 4
Os vetores
geram
pela parametrização acima. Eles são linearmente independentes, pois
Assim
é uma base de
.
Resposta
(a)
é subespaço vetorial de
.
(b) Uma base de é
(b) Uma base de
(c)
.