Considere o seguinte subconjunto de R^4 :
V=(x, y, z, t) in R^4 mid x+y=0 e z-t=0
(a) Mostre que V é um subespaço vetorial de R^4.
(b) Encontre uma base de V.
(c) Qual é a dimensão de V ?

Passo 1

O enunciado define
V=(x,y,z,t)inR^4mid x+y=0,;z-t=0
e pede:
(a) mostrar que V é subespaço de R^4,
(b) encontrar uma base de V,
(c) determinar dim V.

Passo 2

Para mostrar que V é subespaço vetorial, usamos o teste de subespaço:
  1. Não vazio: (0,0,0,0) satisfaz 0+0=0 e 0-0=0, logo (0,0,0,0)in V.
  2. Fechado sob combinação linear: sejam
    u=(x1,y1,z1,t1)in V e
    v=(x2,y2,z2,t2)in V,
    isto é, xi+yi=0 e zi-ti=0 para i=1,2.
    Para quaisquer escalares alpha,betainR,
    alphau+betav=(alpha x1+beta x2,,alpha y1+beta y2,,alpha z1+beta z2,,alpha t1+beta t2).
    Então
(alpha x1+beta x2)+(alpha y1+beta y2) =alpha(x1+y1)+beta(x2+y2)=0,
(alpha z1+beta z2)-(alpha t1+beta t2) =alpha(z1-t1)+beta(z2-t2)=0
Logo alphau+betavin V.
Portanto, V é subespaço de R^4.

Passo 3

Para achar uma base, resolvemos as restrições:
x+y=0implies y=-x, z-t=0implies t=z
Logo todo vetor de V tem a forma
(x,y,z,t) = (x,,-x,,z,,z)
Tomando x=s e z=r como parâmetros em R,
(s,-s,r,r)=s,(1,-1,0,0)+r,(0,0,1,1)

Passo 4

Os vetores
v1=(1,-1,0,0), v2=(0,0,1,1)
geram V pela parametrização acima. Eles são linearmente independentes, pois
a,v1+b,v2=(0,0,0,0) implies a=b=0
Assim v1,v2 é uma base de V.

Resposta

(a) V é subespaço vetorial de R^4.
(b) Uma base de V é
(1,-1,0,0),,(0,0,1,1)
(c) dim V=2.

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