Sejam B=u1, u2 e B^prime=w1, w2 bases de R^2, onde
u1=(-1,2), u2=(2,-1), w1=(1,0), w2=(1,1)
(a) Determine a matriz de mudança de base MB^prime^B de B para B^prime.
(b) Sabendo que [v]B=(1,3), encontre [v]B^prime.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos duas bases, B e B', de R^2. A primeira parte (a) quer que a gente descubra a matriz que faz a mudança de base de B para B'. Na segunda parte (b), usando essa mudança de base, precisamos encontrar as coordenadas de um vetor v na base B', dado que sabemos as coordenadas de v na base B. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a mudança de base e como representar vetores em diferentes bases usando matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma matriz de mudança de base. Imagine que você tem um vetor expresso em uma base B e quer reescrever esse vetor na base B'. A matriz de mudança de base, denotada por MB'^B, é a ferramenta que faz essa transformação. Ela basicamente traduz as coordenadas do vetor da base B para a base B'.

Passo 3

Para encontrar a matriz de mudança de base MB'^B, precisamos expressar cada vetor da base B em termos da base B'. Ou seja, vamos escrever u1 e u2 como combinações dos vetores w1 e w2.

Passo 4

Começando com [u_{1} = (-1, 2)), queremos encontrar escalares e tais que:
Substituindo os valores de e , temos:
Isso resulta no sistema de equações:
Resolvendo, achamos que .

Passo 5

Agora, fazemos o mesmo para [u_{2} = (2, -1)). Queremos encontrar escalares e tais que:
Substituindo:
Isso nos dá:
Aqui, encontramos que .

Passo 6

Agora que temos as combinações, podemos construir a matriz de mudança de base MB'^B. As colunas dessa matriz são os coeficientes que encontramos para u1 e u2 em termos de w1 e w2:
MB'^B = -3 & 3 2 & -1

Passo 7

Agora, vamos para a parte (b). Sabendo que as coordenadas do vetor v na base B são [v]B = (1, 3), queremos encontrar [v]B'. Para isso, usamos a matriz de mudança de base que encontramos.

Passo 8

A relação entre as coordenadas em diferentes bases é dada por:
[v]B' = MB'^B cdot [v]B
Substituindo os valores que temos:
[v]B' = -3 & 3 2 & -1 cdot 1 3
Vamos multiplicar a matriz pelo vetor:
Para a primeira linha:
(-3) cdot 1 + 3 cdot 3 = -3 + 9 = 6
Para a segunda linha:
2 cdot 1 + (-1) cdot 3 = 2 - 3 = -1

Passo 9

Então, as coordenadas do vetor v na base B' são (6, -1).

Resposta

As coordenadas de v na base B' são [v]B' = (6, -1).

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