(a) Determine a matriz de mudança de base de para .
(b) Sabendo que , encontre .
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos duas bases, e , de . A primeira parte (a) quer que a gente descubra a matriz que faz a mudança de base de para . Na segunda parte (b), usando essa mudança de base, precisamos encontrar as coordenadas de um vetor na base , dado que sabemos as coordenadas de na base . Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a mudança de base e como representar vetores em diferentes bases usando matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma matriz de mudança de base. Imagine que você tem um vetor expresso em uma base e quer reescrever esse vetor na base . A matriz de mudança de base, denotada por , é a ferramenta que faz essa transformação. Ela basicamente traduz as coordenadas do vetor da base para a base .
Passo 3
Para encontrar a matriz de mudança de base , precisamos expressar cada vetor da base em termos da base . Ou seja, vamos escrever e como combinações dos vetores e .
Passo 4
Começando com [u_{1} = (-1, 2)), queremos encontrar escalares e tais que:
Substituindo os valores de e , temos:
Isso resulta no sistema de equações:
Resolvendo, achamos que .
Passo 5
Agora, fazemos o mesmo para [u_{2} = (2, -1)). Queremos encontrar escalares e tais que:
Substituindo:
Isso nos dá:
Aqui, encontramos que .
Passo 6
Agora que temos as combinações, podemos construir a matriz de mudança de base MB'^B. As colunas dessa matriz são os coeficientes que encontramos para u1 e u2 em termos de w1 e w2:
MB'^B = -3 & 3 2 & -1
Passo 7
Agora, vamos para a parte (b). Sabendo que as coordenadas do vetor v na base B são [v]B = (1, 3), queremos encontrar [v]B'. Para isso, usamos a matriz de mudança de base que encontramos.
Passo 8
A relação entre as coordenadas em diferentes bases é dada por:
[v]B' = MB'^B cdot [v]B
Substituindo os valores que temos:
[v]B' = -3 & 3 2 & -1 cdot 1 3
Vamos multiplicar a matriz pelo vetor:
Para a primeira linha:
(-3) cdot 1 + 3 cdot 3 = -3 + 9 = 6
Para a segunda linha:
2 cdot 1 + (-1) cdot 3 = 2 - 3 = -1
Passo 9
Então, as coordenadas do vetor v na base B' são (6, -1).
Resposta
As coordenadas de v na base B' são [v]B' = (6, -1).