Considere o seguinte subconjunto de R^3.
W=(a-b+5 c, 2 a+3 b, a+4 b-5 c) in R^3, forall a, b, c in R
Ele é um subespaço de R^3 ? Se for, determine uma base ortogonal para W.

Passo 1

O enunciado define
W=(a-b+5c,;2a+3b,;a+4b-5c)mid a,b,cinR.
Pergunta se W é subespaço de R^3 e, em caso afirmativo, pede uma base ortogonal de W. Vamos usar teoria de subespaços (fechamento em combinação linear) e depois Gram–Schmidt para achar uma base ortogonal.

Passo 2

Para ver que W é subespaço basta notar que a fórmula
(a,b,c)mapsto(a-b+5c,;2a+3b,;a+4b-5c)
é transformação linear de R^3 em R^3. Logo a imagem é fechada sob soma e multiplicação por escalar, ou seja, W é subespaço.

Passo 3

Escrevemos um vetor genérico de W como combinação linear de três vetores:
(a-b+5c,;2a+3b,;a+4b-5c) = a,(1,2,1)+b,(-1,3,4)+c,(5,0,-5)
Assim W=spanv1,v2,v3 com
v1=(1,2,1), v2=(-1,3,4), v3=(5,0,-5)

Passo 4

Para ver a dimensão de W basta checar dependência linear de v1,v2,v3. Por exemplo, o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores dá zero, mostrando dependência. Também se nota que v1 e v2 são independentes, então dim W=2 e podemos usar v1,v2 como geradores iniciais.

Passo 5

Aplicamos Gram–Schmidt a v1 e v2:
u1=v1=(1,2,1), proju1(v2)=v2cdot u1u1cdot u1,u1 =96,u1=tfrac32,(1,2,1)=(tfrac32,3,tfrac32)
Então
u2=v2-proju1(v2) =(-1,3,4)-(tfrac32,3,tfrac32) =(-tfrac52,0,tfrac52)
Podemos escalar u2 por -tfrac25 para simplificar e obter
u2'=(1,0,-1)
Verifica-se u1cdot u2'=1cdot1+2cdot0+1cdot(-1)=0. Logo u1,u2' é base ortogonal de W.

Resposta

Sim, W é subespaço de R^3.
Uma base ortogonal para W é
, (1,2,1),;(1,0,-1)

Exercícios relacionados