Considere o seguinte subconjunto de
.
Ele é um subespaço de
? Se for, determine uma base ortogonal para
.
Passo 1
O enunciado define
.
Pergunta se é subespaço de
e, em caso afirmativo, pede uma base ortogonal de
. Vamos usar teoria de subespaços (fechamento em combinação linear) e depois Gram–Schmidt para achar uma base ortogonal.
Pergunta se
Passo 2
Para ver que
é subespaço basta notar que a fórmula
é transformação linear de
em
. Logo a imagem é fechada sob soma e multiplicação por escalar, ou seja,
é subespaço.
Passo 3
Escrevemos um vetor genérico de
como combinação linear de três vetores:
Assim
com
Passo 4
Para ver a dimensão de
basta checar dependência linear de
. Por exemplo, o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores dá zero, mostrando dependência. Também se nota que
e
são independentes, então
e podemos usar
como geradores iniciais.
Passo 5
Aplicamos Gram–Schmidt a
e
:
Então
Podemos escalar
por
para simplificar e obter
Verifica-se
. Logo
é base ortogonal de
.
Resposta
Sim,
é subespaço de
.
Uma base ortogonal para é
Uma base ortogonal para