Com as operações usuais de soma de funçōes e multiplicação por um escalar em F=[f: R R], conjunto das funçōes reais, mostre que ele é um espaço vetorial, isto é, satisfaz os oito axiomas do espaço vetorial.

Passo 1

O conjunto em questão é
F=f:RtoR
com as operações usuais
(f+g)(x)=f(x)+g(x)
e
(alpha f)(x)=alphacdot f(x).
Para mostrar que F é espaço vetorial sobre R, vamos verificar os oito axiomas de espaço vetorial, que se baseiam nas propriedades da soma e multiplicação em R.

Passo 2

(Fechamento)
  1. Dadas f,ginF, definimos h=f+g por h(x)=f(x)+g(x). Como soma de reais é real, hcolonRtoR, logo f+ginF.
  2. Dado alphainR e finF, definimos k=alpha f por k(x)=alpha,f(x). Como produto de reais é real, kcolonRtoR, logo alpha finF.

Passo 3

(Propriedades da soma)
  1. Comutatividade: para todo f,ginF e todo xinR
(f+g)(x)=f(x)+g(x)=g(x)+f(x)=(g+f)(x)
  1. Associatividade: para f,g,hinF e todo xinR
l((f+g)+hr)(x)=(f+g)(x)+h(x)=f(x)+g(x)+h(x)
e
l(f+(g+h)r)(x)=f(x)+(g+h)(x)=f(x)+g(x)+h(x),
logo (f+g)+h = f+(g+h).

Passo 4

(Zero e inverso aditivo)
  1. Defina a função zero 0inF por 0(x)=0 para todo x. Então
(f+0)(x)=f(x)+0=f(x),
logo f+0=f.
2) Para cada finF, defina -f por (-f)(x)=-,f(x). Então
(f+(-f))(x)=f(x)-f(x)=0,
logo f+(-f)=0.

Passo 5

(Distributividade do escalar sobre soma de vetores)
Para alphainR e f,ginF, em cada x vale
l(alpha,(f+g)r)(x) =alphal(f(x)+g(x)r) =alpha f(x)+alpha g(x) =(alpha f+alpha g)(x),
portanto alpha(f+g)=alpha f+alpha g.

Passo 6

(Distributividade sobre soma de escalares)
Para alpha,betainR e finF, em cada x vale
l((alpha+beta)fr)(x) =(alpha+beta)f(x) =alpha f(x)+beta f(x) =(alpha f+beta f)(x),
logo (alpha+beta)f=alpha f+beta f.

Passo 7

(Associatividade e elemento unitário escalar)
  1. Para alpha,betainR e finF, em cada x
l(alpha(beta f)r)(x) =alphal(beta f(x)r) =(alphabeta)f(x) =l((alphabeta)fr)(x),
logo alpha(beta f)=(alphabeta)f.
2) Para todo finF, em cada x
(1cdot f)(x)=1cdot f(x)=f(x),
logo 1cdot f=f.

Resposta

Concluímos que F satisfaz todos os oito axiomas de espaço vetorial sobre R, logo é de fato um espaço vetorial.

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