Com as operações usuais de soma de funçōes e multiplicação por um escalar em
, conjunto das funçōes reais, mostre que ele é um espaço vetorial, isto é, satisfaz os oito axiomas do espaço vetorial.
Passo 1
O conjunto em questão é
com as operações usuais
e
.
Para mostrar que é espaço vetorial sobre
, vamos verificar os oito axiomas de espaço vetorial, que se baseiam nas propriedades da soma e multiplicação em
.
com as operações usuais
e
Para mostrar que
Passo 2
(Fechamento)
- Dadas
, definimos por . Como soma de reais é real, , logo . - Dado
e , definimos por . Como produto de reais é real, , logo .
Passo 3
(Propriedades da soma)
- Comutatividade: para todo
e todo
- Associatividade: para
e todo
e
logo
.
Passo 4
(Zero e inverso aditivo)
- Defina a função zero
por para todo . Então
logo
.
2) Para cada , defina
por
. Então
2) Para cada
logo
.
Passo 5
(Distributividade do escalar sobre soma de vetores)
Para e
, em cada
vale
Para
portanto
.
Passo 6
(Distributividade sobre soma de escalares)
Para e
, em cada
vale
Para
logo
.
Passo 7
(Associatividade e elemento unitário escalar)
- Para
e , em cada
logo
.
2) Para todo , em cada
2) Para todo
logo
.
Resposta
Concluímos que
satisfaz todos os oito axiomas de espaço vetorial sobre
, logo é de fato um espaço vetorial.