Seja W o subespaço de R^4 gerado pelos vetores
V1=(1,2,0,1), V2=(0,1,1,-1), V3=(2,6,2,0) e V4=(-1,1,3,-4)
(a) Mostre que o conjunto V1, V2, V3, V4 é linearmente dependentes.

Passo 1

O enunciado dá quatro vetores em R^4:
V1=(1,2,0,1), V2=(0,1,1,-1), V3=(2,6,2,0), V4=(-1,1,3,-4)
e pede para mostrar que o conjunto V1,V2,V3,V4 é linearmente dependente. Para isso, vamos usar a definição: o conjunto é dependente se existem escalares alpha1,alpha2,alpha3,alpha4, não todos zero, tais que
alpha1V1+alpha2V2+alpha3V3+alpha4V4=0

Passo 2

Para encontrar uma relação não trivial, observamos coordenada a coordenada se algum dos vetores é combinação linear dos outros. Note que
2V1 = (2,4,0,2), 2V2 = (0,2,2,-2)
Somando,
2V1+2V2 = (2,6,2,0) = V3

Passo 3

A igualdade V3=2V1+2V2 pode ser reescrita como
2V1+2V2-1cdot V3+0cdot V4=0
Aqui os coeficientes (alpha1,alpha2,alpha3,alpha4)=(2,2,-1,0) não são todos zero, caracterizando uma combinação linear não trivial que dá o vetor nulo.

Passo 4

Como encontramos escalares não todos nulos que satisfazem a soma acima igual a zero, isso mostra que V1,V2,V3,V4 é linearmente dependente.

Resposta

O conjunto é linearmente dependente, pois
2V1+2V2-V3=0
é uma relação não trivial entre eles.

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