Seja
o subespaço de
gerado pelos vetores
(a) Mostre que o conjunto
é linearmente dependentes.
Passo 1
O enunciado dá quatro vetores em
:
e pede para mostrar que o conjunto
é linearmente dependente. Para isso, vamos usar a definição: o conjunto é dependente se existem escalares
, não todos zero, tais que
Passo 2
Para encontrar uma relação não trivial, observamos coordenada a coordenada se algum dos vetores é combinação linear dos outros. Note que
Somando,
Passo 3
A igualdade
pode ser reescrita como
Aqui os coeficientes
não são todos zero, caracterizando uma combinação linear não trivial que dá o vetor nulo.
Passo 4
Como encontramos escalares não todos nulos que satisfazem a soma acima igual a zero, isso mostra que
é linearmente dependente.
Resposta
O conjunto é linearmente dependente, pois
é uma relação não trivial entre eles.