[questão prova 2022] Assinale V se verdadeiro ou F se falso em cada item abaixo.
19(a)
( ) O conjunto W=(x, y, z): y^2 in Q é um subespaço vetorial de R^3.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se
W = (x,y,z)inR^3 : y^2 in Q
é subespaço vetorial de R^3. Para isso usamos o critério: um subconjunto não‐vazio de R^3 é subespaço se e somente se for fechado sob soma de vetores e multiplicação por escalares.

Passo 2

Verificamos primeiro que o vetor nulo (0,0,0) está em W, pois (0)^2=0 e 0inQ. Logo W não é vazio.

Passo 3

Agora precisamos checar fechamento sob multiplicação por escalar. Suponha (0,1,0) in W, pois 1^2=1 in Q. Se W fosse subespaço, para qualquer alpha in R teríamos alpha,(0,1,0) in W, i.e.\ o vetor (0,alpha,0) deveria satisfazer alpha^2 in Q.

Passo 4

Escolhemos alpha = raiz2+1. Então (0,1,0)in W, mas
(alphacdot1)^2 = (raiz2+1)^2 = 2 + 1 + 2raiz2 = 3 + 2raiz2,
e 3+2raiz2notinQ. Logo (0,alpha,0)notin W, mostrando falta de fechamento sob multiplicação por escalar.

Passo 5

Como W não é fechado em relação à multiplicação por escalar, concluímos que W não é subespaço vetorial de R^3.

Resposta

F

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