Considere os seguintes vetores em R^3. V1=(1,-1,1) V2=(4,-2,0) V3=(0,-1,2) (a) Estes vetores são LI ou LD? Passo 1O enunciado dá três vetores em R^3, V1=(1,-1,1), V2=(4,-2,0), V3=(0,-1,2), e pede para determinar se eles são linearmente independentes (LI) ou dependentes (LD). Para isso basta verificar se existe uma combinação linear não-trivial c1V1+c2V2+c3V3=0 que não seja c1=c2=c3=0. Passo 2Escrevemos a combinação vetorial em coordenadas e igualamos a zero: c1(1,-1,1)+c2(4,-2,0)+c3(0,-1,2)=(0,0,0) Isso gera o sistema c1+4c2+0cdot c3=0, -,c1-2c2-c3=0, c1+0cdot c2+2c3=0 Passo 3Resolvendo o sistema: Da primeira equação c1+4c2=0 Longrightarrow c1=-4c2 Substituindo em -c1-2c2-c3=0 dá -(-4c2)-2c2-c3=0 Longrightarrow 4c2-2c2-c3=0 Longrightarrow c3=2c2 Na terceira equação c1+2c3=0 substituímos c1=-4c2 e c3=2c2 e confirmamos -4c2+2,(2c2)=0, que é verdadeira para todo c2. Logo há solução não-trivial com c2neq0. Passo 4Como existe c2neq0 dando solução não-trivial, os vetores são linearmente dependentes. Uma relação explícita é, por exemplo, (-4)V1+1cdot V2+2cdot V3=0 Long<=ftrightarrow V2+2V3=4V1 RespostaOs vetores V1,V2,V3 são linearmente dependentes. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosResolva os sistemas lineares A x=b abaixo usando eliminação de GaussJordan: (h) & x1-x2+2 x3+x4-3 x5=1 &-2 x1+x2-x4+x5=2 Determine a distância entre os planos dados e a origem: d) 2 x+y+z=2 Considere o seguinte subespaço de R^3. W=(a-b+c, 2 a+b+5 c, b+c) in R^3, forall a, b, c in R (b) Complete esta base até uma base de R^3. Sejam alpha=(0 ; 2),(2 ;-1) e beta=(1 ; 1 ; 0),(0 ; 0 ;-1),(1 ; 0 ; 1) bases de R^2 e R^3. [S]beta^alpha=[cc 2 & 0 4 & 0 0 & -1 ] Determine S(x ; y).