Considere os seguintes vetores em R^3.
V1=(1,-1,1) V2=(4,-2,0) V3=(0,-1,2)
(a) Estes vetores são LI ou LD?

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^3,
V1=(1,-1,1), V2=(4,-2,0), V3=(0,-1,2),
e pede para determinar se eles são linearmente independentes (LI) ou dependentes (LD). Para isso basta verificar se existe uma combinação linear não-trivial
c1V1+c2V2+c3V3=0
que não seja c1=c2=c3=0.

Passo 2

Escrevemos a combinação vetorial em coordenadas e igualamos a zero:
c1(1,-1,1)+c2(4,-2,0)+c3(0,-1,2)=(0,0,0)
Isso gera o sistema
c1+4c2+0cdot c3=0, -,c1-2c2-c3=0, c1+0cdot c2+2c3=0

Passo 3

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação
c1+4c2=0 Longrightarrow c1=-4c2
Substituindo em -c1-2c2-c3=0
-(-4c2)-2c2-c3=0 Longrightarrow 4c2-2c2-c3=0 Longrightarrow c3=2c2
Na terceira equação c1+2c3=0 substituímos c1=-4c2 e c3=2c2 e confirmamos
-4c2+2,(2c2)=0,
que é verdadeira para todo c2. Logo há solução não-trivial com c2neq0.

Passo 4

Como existe c2neq0 dando solução não-trivial, os vetores são linearmente dependentes. Uma relação explícita é, por exemplo,
(-4)V1+1cdot V2+2cdot V3=0 Long<=ftrightarrow V2+2V3=4V1

Resposta

Os vetores V1,V2,V3 são linearmente dependentes.

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