Considere o seguinte subespaço de R^3.
W=(a-b+c, 2 a+b+5 c, b+c) in R^3, forall a, b, c in R
(a) Determine uma base e a dimensão de W.

Passo 1

O enunciado define o subespaço
W=(a-b+c,;2a+b+5c,;b+c)inR^3mid a,b,cinR
e pede uma base de W e sua dimensão.
Para resolver vamos usar os conceitos de geradores (span) e independência linear: escrevemos um vetor genérico de W como combinação linear de vetores e depois verificamos quantos desses vetores são efetivamente independentes.

Passo 2

Escrevendo o vetor genérico como combinação linear dos parâmetros a,b,c, temos
(a-b+c,;2a+b+5c,;b+c) =a,(1,2,0)+b,(-1,1,1)+c,(1,5,1)
Logo
W=spanv1,v2,v3,
onde
v1=(1,2,0), v2=(-1,1,1), v3=(1,5,1)

Passo 3

Para descobrir a dimensão de
Isso gera o sistema
Da terceira equação . A segunda equação fica
que é satisfeita para todo . Portanto há um parâmetro livre ( ) e a dimensão do espaço gerado por é .

Passo 4

Como apenas dois vetores são necessários para gerar W, podemos escolher qualquer par independente dentre v1,v2,v3. Por exemplo, v1 e v2 são independentes pois
alpha(1,2,0)+beta(-1,1,1)=0
implica beta=0 e depois alpha=0. Logo
v1,v2=(1,2,0),,(-1,1,1)
é uma base de W.

Resposta

Uma base de W é
(1,2,0),,(-1,1,1)
e dim W=2.

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