Encontrar uma forma de Jordan para a matriz F, considerando, que o polinômio característico de F é \chi_{F}(t)=-t(t+1)^{4}. Justificar suas respostas. ( \mathbf{2 , 8} pontos)
F=\left(\begin{array}{rrrrr} 0 & -1 & -1 & -1 & 1 \\\\ -1 & 0 & 2 & 0 & 0 \\\\ 1 & -1 & -1 & -2 & 0 \\\\ 1 & -1 & -1 & -2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede a forma de Jordan de
F=\begin{pmatrix} 0 & -1 & -1 & -1 & 1\\\\ -1 & 0 & 2 & 0 & 0\\\\ 1 & -1 & -1 & -2 & 0\\\\ 1 & -1 & -1 & -2 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}
sabendo que
\chi_{F}(t)=-t\,(t+1)^{4}.
O conteúdo é a teoria de valores e vetores próprios e cadeias generalizadas, usando multiplicidades algébrica e geométrica para montar blocos de Jordan.

Passo 2

Do polinômio característico tiramos os autovalores e suas multiplicidades algébricas:
\lambda_{1}=0, multiplicidade algébrica m_{a}(0)=1.
\lambda_{2}=-1, multiplicidade algébrica m_{a}(-1)=4.

Passo 3

Como \lambda_{1}=0 é simples, sua multiplicidade geométrica vale 1 automaticamente. Logo há exatamente um bloco de Jordan de tamanho 1 para \lambda=0.

Passo 4

Para \lambda_{2}=-1 calculamos a multiplicidade geométrica, isto é, \dim\ker(F+I).
F+I=\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & -1 & 1\\\\ -1 & 1 & 2 & 0 & 0\\\\ 1 & -1 & 0 & -2 & 0\\\\ 1 & -1 & 0 & -2 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Eliminando linhas, obtemos posto 3, logo
\dim\ker(F+I)=5-3=2.
Isto significa que existem exatamente 2 vetores próprios para \lambda=-1, ou seja, serão 2 blocos de Jordan naquele autovalor.

Passo 5

Para descobrir o tamanho desses blocos, calculamos
\dim\ker\bigl((F+I)^{2}\bigr).
Multiplicando e reduzindo, chega-se a
(F+I)^{2}\text{ tem posto }1 \quad\Longrightarrow\quad \dim\ker\bigl((F+I)^{2}\bigr)=5-1=4.
Na teoria de Jordan vale
\dim\ker\bigl((F+I)^{2}\bigr) -\dim\ker(F+I) =4-2=2
que é o número de blocos de Jordan de tamanho \ge2 para \lambda=-1. Como já sabemos que há 2 blocos ao todo, ambos têm tamanho exatamente 2.

Passo 6

Reunindo:
– Para \lambda=0 há um bloco J_{1}(0)=(0).
– Para \lambda=-1 há dois blocos J_{2}(-1), isto é
J_{2}(-1)=\begin{pmatrix}-1&1\\\ 0&-1\end{pmatrix}.

Resposta

A forma de Jordan de F é
J=\operatorname{diag}\bigl(J_{1}(0),\,J_{2}(-1),\,J_{2}(-1)\bigr) =\operatorname{diag}\Bigl(0,\, \begin{pmatrix}-1&1\\\ 0&-1\end{pmatrix},\, \begin{pmatrix}-1&1\\\ 0&-1\end{pmatrix}\Bigr).

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