Considere o seguinte teorema: O produto de dois números que terminam em 25 também termina em 25. Admitindo esse teorema, esboce uma justificativa do seguinte corolário: As potências positivas inteiras quaisquer de um número que termina em 25 também terminam em 25 .
Passo 1
O enunciado nos dá explicitamente o seguinte:
- Teorema assumido: o produto de dois números que terminam em
também termina em . - Precisamos justificar o corolário: “As potências positivas inteiras quaisquer de um número que termina em
também terminam em .” - Informação implícita: quando dizemos que um número "termina em
" queremos dizer que ele tem as duas últimas casas decimais iguais a e ; em notação algébrica isso será usado abaixo.
O que é pedido: uma justificativa (uma prova) de que, se um número termina em
, então todas as suas potências com expoente inteiro positivo também terminam em
.
Passo 2
Interpretando matematicamente "termina em
".
Se um número termina em
, então existe um inteiro
tal que
Se um número
Explicação calma: multiplicar
por
desloca seus dígitos duas casas para a esquerda (coloca zeros nas duas últimas casas); somando
garante que as duas últimas casas sejam
e
. Essa é a forma padrão para tratar "termina em
".
Passo 3
Estratégia do raciocínio (sem nomear método técnico ainda): queremos provar que para todo inteiro positivo
o número
também termina em
. Uma maneira prática é mostrar que:
- vale para
, - vale para
(a hipótese do teorema nos dá precisamente isso), - e que, se vale para algum expoente
, então vale para .
Se conseguirmos essas três coisas, concluiremos que vale para todo. Vou explicar por que cada parte funciona.
Passo 4
Verificação do caso base
.
Para temos
. Como
termina em
por hipótese, concluímos que o caso
é verdadeiro. Isso serve como ponto de partida.
Para
Passo 5
Verificação do caso
.
Pelo teorema assumido: o produto de dois números que terminam em termina em
. Aplicando com os dois fatores iguais a
(que termina em
), o produto
termina em
. Portanto o caso
também é verdadeiro. (Alternativamente, quem quiser ver por cálculo:
produz um termo final
, e
termina em
.)
Pelo teorema assumido: o produto de dois números que terminam em
Passo 6
Passo indutivo: hipótese.
Suponha que para algum inteiro positivo já sabemos que
termina em
. Em notação, existe um inteiro
tal que
Suponha que para algum inteiro positivo
Comentário amigável: essa é a hipótese que vamos usar para ligar
com
.
Passo 7
Passo indutivo: conclusão para
.
Considere . Pela hipótese do passo anterior,
termina em
. Também sabemos que
termina em
(hipótese inicial do problema). Assim, temos dois números que terminam em
:
e
. Aplicando o teorema assumido (produto de dois números que terminam em
também termina em
), concluímos que
Considere
também termina em
.
Passo 8
Fechando a argumentação completa.
Recapitulando os passos práticos:
Recapitulando os passos práticos:
- mostramos que a propriedade é verdadeira para
(caso base), - mostramos que é verdadeira para
(caso base adicional, garantido pelo teorema), - e mostramos que, se vale para um
, então vale para (passo indutivo), usando exatamente o teorema dado.
Portanto, por este procedimento (iniciar em
e propagar para
), a propriedade vale para todo inteiro positivo
: toda potência
termina em
.
Passo 9
Um exemplo numérico para fixar a intuição.
Tome (aqui
porque
).
Tome
-
termina em . -
termina em . - Usando o passo indutivo, como
e terminam em , então termina em . E assim por diante. Isso exemplifica a ideia geral.
Resposta
Seja
um inteiro que termina em
. Então, para todo
,
termina em
.