Considere o seguinte teorema: O produto de dois números que terminam em 25 também termina em 25. Admitindo esse teorema, esboce uma justificativa do seguinte corolário: As potências positivas inteiras quaisquer de um número que termina em 25 também terminam em 25 .

Passo 1

O enunciado nos dá explicitamente o seguinte:
  • Teorema assumido: o produto de dois números que terminam em 25 também termina em 25.
  • Precisamos justificar o corolário: “As potências positivas inteiras quaisquer de um número que termina em 25 também terminam em 25.”
  • Informação implícita: quando dizemos que um número "termina em 25" queremos dizer que ele tem as duas últimas casas decimais iguais a 2 e 5; em notação algébrica isso será usado abaixo.
O que é pedido: uma justificativa (uma prova) de que, se um número termina em 25, então todas as suas potências com expoente inteiro positivo também terminam em 25.

Passo 2

Interpretando matematicamente "termina em 25".
Se um número a termina em 25, então existe um inteiro m tal que
a = 100m + 25.
Explicação calma: multiplicar m por 100 desloca seus dígitos duas casas para a esquerda (coloca zeros nas duas últimas casas); somando 25 garante que as duas últimas casas sejam 2 e 5. Essa é a forma padrão para tratar "termina em 25".

Passo 3

Estratégia do raciocínio (sem nomear método técnico ainda): queremos provar que para todo inteiro positivo n o número a^n também termina em 25. Uma maneira prática é mostrar que:
  • vale para n=1,
  • vale para n=2 (a hipótese do teorema nos dá precisamente isso),
  • e que, se vale para algum expoente k, então vale para k+1.
    Se conseguirmos essas três coisas, concluiremos que vale para todo n. Vou explicar por que cada parte funciona.

Passo 4

Verificação do caso base n=1.
Para n=1 temos a^1 = a. Como a termina em 25 por hipótese, concluímos que o caso n=1 é verdadeiro. Isso serve como ponto de partida.

Passo 5

Verificação do caso n=2.
Pelo teorema assumido: o produto de dois números que terminam em 25 termina em 25. Aplicando com os dois fatores iguais a a (que termina em 25), o produto a\cdot a = a^2 termina em 25. Portanto o caso n=2 também é verdadeiro. (Alternativamente, quem quiser ver por cálculo: (100m+25)^2 produz um termo final 625, e 625 termina em 25.)

Passo 6

Passo indutivo: hipótese.
Suponha que para algum inteiro positivo k já sabemos que a^k termina em 25. Em notação, existe um inteiro t tal que
a^k = 100t + 25.
Comentário amigável: essa é a hipótese que vamos usar para ligar a^k com a^{k+1}.

Passo 7

Passo indutivo: conclusão para k+1.
Considere a^{k+1} = a^k \cdot a. Pela hipótese do passo anterior, a^k termina em 25. Também sabemos que a termina em 25 (hipótese inicial do problema). Assim, temos dois números que terminam em 25: a^k e a. Aplicando o teorema assumido (produto de dois números que terminam em 25 também termina em 25), concluímos que
a^{k+1} = a^k\cdot a
também termina em 25.

Passo 8

Fechando a argumentação completa.
Recapitulando os passos práticos:
  • mostramos que a propriedade é verdadeira para n=1 (caso base),
  • mostramos que é verdadeira para n=2 (caso base adicional, garantido pelo teorema),
  • e mostramos que, se vale para um k, então vale para k+1 (passo indutivo), usando exatamente o teorema dado.
Portanto, por este procedimento (iniciar em 1 e propagar para 2,3,4,\dots), a propriedade vale para todo inteiro positivo n: toda potência a^n termina em 25.

Passo 9

Um exemplo numérico para fixar a intuição.
Tome a=125 (aqui m=1 porque 125=100\cdot1+25).
  • 125^1=125 termina em 25.
  • 125^2=15625 termina em 25.
  • Usando o passo indutivo, como 125^2 e 125 terminam em 25, então 125^3 termina em 25. E assim por diante. Isso exemplifica a ideia geral.

Resposta

Seja a um inteiro que termina em 25. Então, para todo n\in\mathbb{N}, a^n termina em 25.

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