Melhorando as hipóteses, escreva uma generalização para cada resultado abaixo. Procure dar a generalização mais abrangente possível.
(d) Uma condição suficiente para que dois planos tenham uma reta em comum é que eles se intersectem em ângulo reto.
(d) Uma condição suficiente para que dois planos tenham uma reta em comum é que eles se intersectem em ângulo reto.
Passo 1
O enunciado pede que eu melhore (generalize) a hipótese dada. A afirmação original é: “Uma condição suficiente para que dois planos tenham uma reta em comum é que eles se intersectem em ângulo reto.”
Informações / pedido que vêm do enunciado:
Informações / pedido que vêm do enunciado:
- Existe a afirmação sobre dois planos que intersectam em ângulo reto.
- Precisa-se escrever uma generalização mais abrangente possível dessa afirmação, ou seja, uma condição mais fraca (ou equivalência) que ainda garanta que dois planos tenham uma reta em comum.
Passo 2
Primeiro vamos fixar notação e conceitos básicos (sem pular etapas):
- Um plano em
pode ser dado pela equação , onde: -
é um vetor normal ao plano (ou seja, perpendicular a todo vetor tangente do plano), -
é o vetor posição de um ponto qualquer do espaço, -
é um escalar que fixa a posição do plano.
-
- Dois planos com normais
e são: - paralelos (ou coincidentes) se
e são proporcionais (isto é, existe tal que ); - não paralelos se
e não são proporcionais.
- paralelos (ou coincidentes) se
- Geometricamente, quando dois planos não são paralelos em
espera-se que a interseção seja uma reta. Vamos mostrar por que isso acontece e como isso generaliza.
Passo 3
Por que a condição “interseção em ângulo reto” é apenas suficiente e não necessária?
- Interseção em ângulo reto significa
. Se então e não são proporcionais (a não ser se um for o zero, o que não ocorre para normais de planos legítimos), logo os planos não são paralelos e portanto intersectam numa reta. - Mas muitos pares de planos que intersectam numa reta não têm normais ortogonais; estes simplesmente têm
e não proporcionais. Logo ortogonalidade é mais forte do que o necessário. Precisamos de uma condição mais fraca (mais geral).
Passo 4
Demonstração e formulação da generalização mais natural em
:
- Escreva os dois planos como
- Resolver essas duas equações simultâneas é resolver um sistema linear de duas equações para as três coordenadas de
. Em termos de dimensão do espaço solução: - Se
e são linearmente independentes (não proporcionais), o sistema tem posto , então o espaço de soluções afim tem dimensão . Uma espaço afim de dimensão é uma reta; logo os planos intersectam numa reta. - Se
e são proporcionais, então as duas equações são (dependendo de ) ou inconsistentes (planos paralelos distintos, sem interseção) ou equivalentes (mesmo plano, interseção é todo o plano).
- Se
- Forma vectorial útil: a direção da reta de interseção (quando existe) é dada por
porque é perpendicular a ambos e , então pertence à interseção dos subespaços tangentes dos planos.
Conclusão parcial (generalização em
): uma condição necessária e suficiente para que dois planos distintos intersectem numa reta é que seus vetores normais não sejam proporcionais (equivalente a
). A hipótese “normais ortogonais” (
) é apenas um caso particular dessa condição.
Passo 5
Exemplos simples para fixar a intuição (faça na cabeça ou no rascunho da prova):
- Plano
tem normal . - Plano
tem normal . - Aqui
(ortogonais) e . Eles se intersectam na reta (eixo ).
- Aqui
- Plano
com e plano com . - Aqui
(não ortogonais), mas . Eles também se intersectam numa reta. Isso mostra que ortogonalidade não é necessária.
- Aqui
Passo 6
Generalização mais abrangente em dimensão maior (
):
- Em
considere duas hipersuperfícies afins (hiperplanos) dadas por com . - Analogia linear: são duas equações lineares independentes sobre
incógnitas. Se e são linearmente independentes (posto ), o espaço solução afim tem dimensão . Portanto: - Em
, duas hipersuperfícies afins cujo conjunto de direções normais tem posto intersectam numa subvariedade afim de dimensão . - Particularmente, em
isso dá dimensão (reta); em dá dimensão (plano), etc.
- Em
Passo 7
Síntese final e formulação limpa da generalização mais abrangente pedida:
- Em
: dois planos intersectam numa reta se, e somente se, seus vetores normais não são proporcionais (equivalente a ). A hipótese “interseção em ângulo reto” ( ) é apenas um caso particular (mais forte) dessa condição. - Em
: duas hipersuperfícies afins definidas pelas equações e intersectam numa subvariedade afim de dimensão se, e somente se, e são linearmente independentes (posto ).
Resposta
Em
: dois planos intersectam numa reta se, e somente se, os seus vetores normais não são proporcionais (equivalentemente
); a condição de serem ortogonais (
) é apenas um caso especial (mais forte).
Em : duas hipersuperfícies afins
e
intersectam numa subvariedade afim de dimensão
se, e somente se,
e
são linearmente independentes.
Em