Melhorando as hipóteses, escreva uma generalização para cada resultado abaixo. Procure dar a generalização mais abrangente possível.
(d) Uma condição suficiente para que dois planos tenham uma reta em comum é que eles se intersectem em ângulo reto.

Passo 1

O enunciado pede que eu melhore (generalize) a hipótese dada. A afirmação original é: “Uma condição suficiente para que dois planos tenham uma reta em comum é que eles se intersectem em ângulo reto.”
Informações / pedido que vêm do enunciado:
  • Existe a afirmação sobre dois planos que intersectam em ângulo reto.
  • Precisa-se escrever uma generalização mais abrangente possível dessa afirmação, ou seja, uma condição mais fraca (ou equivalência) que ainda garanta que dois planos tenham uma reta em comum.

Passo 2

Primeiro vamos fixar notação e conceitos básicos (sem pular etapas):
  • Um plano em \mathbb{R}^3 pode ser dado pela equação \mathbf{n}\cdot\mathbf{r}=d, onde:
    • \mathbf{n} é um vetor normal ao plano (ou seja, perpendicular a todo vetor tangente do plano),
    • \mathbf{r} é o vetor posição de um ponto qualquer (x,y,z) do espaço,
    • d é um escalar que fixa a posição do plano.
  • Dois planos com normais \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2 são:
    • paralelos (ou coincidentes) se \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2 são proporcionais (isto é, existe \lambda tal que \mathbf{n}_1=\lambda\mathbf{n}_2);
    • não paralelos se \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2 não são proporcionais.
  • Geometricamente, quando dois planos não são paralelos em \mathbb{R}^3 espera-se que a interseção seja uma reta. Vamos mostrar por que isso acontece e como isso generaliza.

Passo 3

Por que a condição “interseção em ângulo reto” é apenas suficiente e não necessária?
  • Interseção em ângulo reto significa \mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2=0. Se \mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2=0 então \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2 não são proporcionais (a não ser se um for o zero, o que não ocorre para normais de planos legítimos), logo os planos não são paralelos e portanto intersectam numa reta.
  • Mas muitos pares de planos que intersectam numa reta não têm normais ortogonais; estes simplesmente têm \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2 não proporcionais. Logo ortogonalidade é mais forte do que o necessário. Precisamos de uma condição mais fraca (mais geral).

Passo 4

Demonstração e formulação da generalização mais natural em \mathbb{R}^3:
  • Escreva os dois planos como \mathbf{n}_1\cdot\mathbf{r}=d_1,\qquad \mathbf{n}_2\cdot\mathbf{r}=d_2.
  • Resolver essas duas equações simultâneas é resolver um sistema linear de duas equações para as três coordenadas de \mathbf{r}. Em termos de dimensão do espaço solução:
    • Se \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2 são linearmente independentes (não proporcionais), o sistema tem posto 2, então o espaço de soluções afim tem dimensão 3-2=1. Uma espaço afim de dimensão 1 é uma reta; logo os planos intersectam numa reta.
    • Se \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2 são proporcionais, então as duas equações são (dependendo de d_1,d_2) ou inconsistentes (planos paralelos distintos, sem interseção) ou equivalentes (mesmo plano, interseção é todo o plano).
  • Forma vectorial útil: a direção da reta de interseção (quando existe) é dada por \mathbf{v}=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2,porque \mathbf{v} é perpendicular a ambos \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2, então \mathbf{v} pertence à interseção dos subespaços tangentes dos planos.
Conclusão parcial (generalização em \mathbb{R}^3): uma condição necessária e suficiente para que dois planos distintos intersectem numa reta é que seus vetores normais não sejam proporcionais (equivalente a \mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2\neq\mathbf{0}). A hipótese “normais ortogonais” ( \mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2=0) é apenas um caso particular dessa condição.

Passo 5

Exemplos simples para fixar a intuição (faça na cabeça ou no rascunho da prova):
  • Plano P_1:\;x=0 tem normal \mathbf{n}_1=(1,0,0).
  • Plano P_2:\;y=0 tem normal \mathbf{n}_2=(0,1,0).
    • Aqui \mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2=0 (ortogonais) e \mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2=(0,0,1)\neq\mathbf{0}. Eles se intersectam na reta x=0,y=0 (eixo z).
  • Plano Q_1:\;x=0 com \mathbf{m}_1=(1,0,0) e plano Q_2:\;x+y=1 com \mathbf{m}_2=(1,1,0).
    • Aqui \mathbf{m}_1\cdot\mathbf{m}_2=1\neq0 (não ortogonais), mas \mathbf{m}_1\times\mathbf{m}_2=(0,0,1)\neq\mathbf{0}. Eles também se intersectam numa reta. Isso mostra que ortogonalidade não é necessária.

Passo 6

Generalização mais abrangente em dimensão maior ( \mathbb{R}^n):
  • Em \mathbb{R}^n considere duas hipersuperfícies afins (hiperplanos) dadas por \mathbf{n}_1\cdot\mathbf{r}=d_1,\qquad \mathbf{n}_2\cdot\mathbf{r}=d_2,com \mathbf{n}_1,\mathbf{n}_2\in\mathbb{R}^n.
  • Analogia linear: são duas equações lineares independentes sobre n incógnitas. Se \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2 são linearmente independentes (posto 2), o espaço solução afim tem dimensão n-2. Portanto:
    • Em \mathbb{R}^n, duas hipersuperfícies afins cujo conjunto de direções normais tem posto 2 intersectam numa subvariedade afim de dimensão n-2.
    • Particularmente, em \mathbb{R}^3 isso dá dimensão 1 (reta); em \mathbb{R}^4 dá dimensão 2 (plano), etc.

Passo 7

Síntese final e formulação limpa da generalização mais abrangente pedida:
  • Em \mathbb{R}^3: dois planos intersectam numa reta se, e somente se, seus vetores normais não são proporcionais (equivalente a \mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2\neq\mathbf{0}). A hipótese “interseção em ângulo reto” ( \mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2=0) é apenas um caso particular (mais forte) dessa condição.
  • Em \mathbb{R}^n: duas hipersuperfícies afins definidas pelas equações \mathbf{n}_1\cdot\mathbf{r}=d_1 e \mathbf{n}_2\cdot\mathbf{r}=d_2 intersectam numa subvariedade afim de dimensão n-2 se, e somente se, \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2 são linearmente independentes (posto 2).

Resposta

Em \mathbb{R}^3: dois planos intersectam numa reta se, e somente se, os seus vetores normais não são proporcionais (equivalentemente \mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2\neq\mathbf{0}); a condição de serem ortogonais ( \mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2=0) é apenas um caso especial (mais forte).
Em \mathbb{R}^n: duas hipersuperfícies afins \mathbf{n}_1\cdot\mathbf{r}=d_1 e \mathbf{n}_2\cdot\mathbf{r}=d_2 intersectam numa subvariedade afim de dimensão n-2 se, e somente se, \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2 são linearmente independentes.

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