Melhorando as hipóteses, escreva uma generalização para cada resultado abaixo. Procure dar a generalização mais abrangente possível.
(e) O volume de um cone reto vale 1 / 3 da área da base vezes à altura.

Passo 1

O enunciado dá o resultado clássico: o volume de um cone reto vale 1/3 da área da base vezes a altura. A tarefa é melhorar as hipóteses e escrever generalizações tão abrangentes quanto possível. Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que se pede:
  • Dado iniciado: “cone reto” com base (uma região planar) de área conhecida e “altura” (distância do vértice ao plano da base). Fórmula dada: V=\tfrac{1}{3}A_{\text{base}}\,h.
  • O que pedir: formular generalizações (mais fracas/abrangentes) que continuem garantindo essa fórmula; ou seja, relaxar hipóteses como “reto”, “base circular”, “base triangular”, “poliedro”, etc., e também procurar extensões para dimensão arbitrária.
  • Informação importante a fixar (será usada na resolução): o que se entende por “cone” aqui — o sólido formado por todos os segmentos que ligam um ponto (o ápice) a todos os pontos de uma região plana (a base). A “altura” é a distância perpendicular do ápice ao plano que contém a base.

Passo 2

Primeira ideia de generalização em \mathbb{R}^3 (mais próxima do enunciado): a fórmula não usa a forma da base nem o fato de ser “reto” no sentido restrito de eixo passando pelo centro de uma base circular. Uma generalização natural é:
  • Para qualquer base planar mensurável B (qualquer forma: circular, elíptica, poligonal, com borda suave, até conjuntos mensuráveis) e para qualquer ápice que não pertença ao plano da base, o sólido formado por todos os segmentos que ligam o ápice a pontos de B (chamado cone com base B) tem volume
V=\frac{1}{3}\,A(B)\,h,
onde A(B) é a área da região B e h é a distância perpendicular do ápice ao plano que contém B.
Vou provar essa afirmação com cuidado.

Passo 3

Entendimento e ideia do método para provar a generalização em \mathbb{R}^3.
  • Estratégia: olhar cortes por planos paralelos à base. A ideia é que, para um plano a uma distância x do ápice (medida ao longo da direção perpendicular ao plano da base), a interseção do cone com esse plano é uma figura homotética (escala) da base, com fator de escala linear \lambda=\dfrac{x}{h}. Assim a área dessa seção transversal é
A(x)=\left(\frac{x}{h}\right)^{2}A(B),
porque áreas escalam como o quadrado do fator linear. Então o volume do cone é a integral das áreas das fatias finas:
V=\int_{0}^{h}A(x)\,dx =\int_{0}^{h}\left(\frac{x}{h}\right)^{2}A(B)\,dx.
Agora é só calcular essa integral.

Passo 4

Cálculo da integral e conclusão do caso tridimensional.
  • Calculemos:
V=A(B)\int_{0}^{h}\left(\frac{x}{h}\right)^{2}\,dx =A(B)\frac{1}{h^{2}}\int_{0}^{h}x^{2}\,dx =A(B)\frac{1}{h^{2}}\cdot\frac{h^{3}}{3} =\frac{1}{3}A(B)\,h.
  • Comentário sobre a homotetia que usei: para qualquer ponto p\in B, o segmento do ápice O a p corta todo plano paralelo ao de B em um ponto cuja posição ao longo do segmento é proporcional — isso define uma homotetia com centro no ápice que envia B para a interseção com o plano a distância x. Essa propriedade vale independentemente da forma de B e independentemente de o ápice estar “diretamente acima” de um ponto especial da base — portanto a fórmula é válida para cones retos e oblíquos, e para bases de qualquer forma mensurável.

Passo 5

Extensão para pirâmides e bases poligonais.
  • Observação: uma pirâmide com base poligonal é um caso particular em que B é um polígono. A prova por fatias funciona da mesma forma (cada fatia paralela à base é um polígono semelhante ao da base, com área que escala como o quadrado do fator linear), daí vale também
V=\frac{1}{3}A_{\text{base}}\,h
para qualquer pirâmide (não precisa ser regular).
  • Conclusão prática: a fórmula aplica-se a cones com base arbitrária e a pirâmides com base poligonal — a única hipótese essencial é que a base esteja em um plano e seja mensurável e que se considere a altura perpendicular do ápice ao plano da base.

Passo 6

Generalização para dimensão arbitrária n.
  • Motivação: a razão do fator 1/3 veio da integração de um fator (x/h)^{2} (o expoente 2 vem porque, em \mathbb{R}^{3}, a área da seção transversal é uma medida de dimensão 2). Em \mathbb{R}^{n} o análogo — “cone n-dimensional” sobre uma base de dimensão n-1 — terá seções cujo (n-1)-volume escala com (x/h)^{\,n-1}. Portanto a integral dará um fator 1/n.
  • Enunciado preciso: seja B uma região mensurável contida em um hiperplano de \mathbb{R}^{n}. Considere o cone C formado pelos segmentos que ligam um ponto ápice O (fora do hiperplano) a todos os pontos de B. Seja h a distância perpendicular de O ao hiperplano. Então o volume n-dimensional de C é
\operatorname{Vol}_{n}\text{(C)}=\frac{1}{n}\,\,\operatorname{Vol}_{n-1}(B)\,h,
onde \operatorname{Vol}_{n-1}(B) é a medida (n-1)-dimensional da base.
  • Prova curta do caso geral: para x\in[0,h] a seção transversal a distância x do ápice tem (n-1)-volume
A_{n-1}(x)=\left(\frac{x}{h}\right)^{n-1}A_{n-1}(h),
com A_{n-1}(h)=\operatorname{Vol}_{n-1}(B). Então
\operatorname{Vol}_{n}\text{(C)}=\int_{0}^{h}A_{n-1}(x)\,dx =\operatorname{Vol}_{n-1}(B)\int_{0}^{h}\left(\frac{x}{h}\right)^{n-1}dx =\operatorname{Vol}_{n-1}(B)\frac{h}{n}.
  • Verificação de casos conhecidos: para n=3 recupera 1/3; para n=2 recupera a fórmula da área de um triângulo A=\tfrac{1}{2}(\text{base})\cdot(\text{altura}).

Passo 7

Discussão das hipóteses mínimas e observações úteis para a prova/exame.
  • Hipóteses essenciais: a base deve ser mensurável no sentido de Lebesgue (para que faça sentido sua “área” ou (n-1)-medida); o ápice não deve estar no hiperplano da base; a altura h é a distância perpendicular do ápice ao hiperplano da base. Essas hipóteses são bem fracas — não exigem convexidade nem suavidade da fronteira da base.
  • Observações práticas para prova: ao aplicar a fórmula em problemas, tenha cuidado em usar a altura perpendicular (não confundir com a geratriz ou “altura inclinada”). Mesmo para cones oblíquos, o volume usa a distância perpendicular. Se precisar justificar no exame, explique o argumento por fatias e semelhança/homotetia como fiz acima — é curto e robusto.
  • Exemplo numérico rápido (chega para fixar a ideia): um cone com base elíptica de área A(B)=50 e altura h=9 tem volume V=\tfrac{1}{3}\cdot 50\cdot 9=150.

Resposta

Para qualquer cone em \mathbb{R}^3 cuja base B seja uma região plana mensurável e cujo ápice tenha distância perpendicular h ao plano da base:
V=\frac{1}{3}\,A(B)\,h.
Mais geralmente, em \mathbb{R}^n, para o cone com base B de medida (n-1) e altura h:
\operatorname{Vol}_{n}=\frac{1}{n}\,\operatorname{Vol}_{n-1}(B)\,h.

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