Melhorando as hipóteses, escreva uma generalização para cada resultado abaixo. Procure dar a generalização mais abrangente possível.
(e) O volume de um cone reto vale
da área da base vezes à altura.
(e) O volume de um cone reto vale
Passo 1
O enunciado dá o resultado clássico: o volume de um cone reto vale
da área da base vezes a altura. A tarefa é melhorar as hipóteses e escrever generalizações tão abrangentes quanto possível. Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que se pede:
- Dado iniciado: “cone reto” com base (uma região planar) de área conhecida e “altura” (distância do vértice ao plano da base). Fórmula dada:
. - O que pedir: formular generalizações (mais fracas/abrangentes) que continuem garantindo essa fórmula; ou seja, relaxar hipóteses como “reto”, “base circular”, “base triangular”, “poliedro”, etc., e também procurar extensões para dimensão arbitrária.
- Informação importante a fixar (será usada na resolução): o que se entende por “cone” aqui — o sólido formado por todos os segmentos que ligam um ponto (o ápice) a todos os pontos de uma região plana (a base). A “altura” é a distância perpendicular do ápice ao plano que contém a base.
Passo 2
Primeira ideia de generalização em
(mais próxima do enunciado): a fórmula não usa a forma da base nem o fato de ser “reto” no sentido restrito de eixo passando pelo centro de uma base circular. Uma generalização natural é:
- Para qualquer base planar mensurável
(qualquer forma: circular, elíptica, poligonal, com borda suave, até conjuntos mensuráveis) e para qualquer ápice que não pertença ao plano da base, o sólido formado por todos os segmentos que ligam o ápice a pontos de (chamado cone com base ) tem volume
onde
é a área da região
e
é a distância perpendicular do ápice ao plano que contém
.
Vou provar essa afirmação com cuidado.
Vou provar essa afirmação com cuidado.
Passo 3
Entendimento e ideia do método para provar a generalização em
.
- Estratégia: olhar cortes por planos paralelos à base. A ideia é que, para um plano a uma distância
do ápice (medida ao longo da direção perpendicular ao plano da base), a interseção do cone com esse plano é uma figura homotética (escala) da base, com fator de escala linear . Assim a área dessa seção transversal é
porque áreas escalam como o quadrado do fator linear. Então o volume do cone é a integral das áreas das fatias finas:
Agora é só calcular essa integral.
Passo 4
Cálculo da integral e conclusão do caso tridimensional.
- Calculemos:
- Comentário sobre a homotetia que usei: para qualquer ponto
, o segmento do ápice a corta todo plano paralelo ao de em um ponto cuja posição ao longo do segmento é proporcional — isso define uma homotetia com centro no ápice que envia para a interseção com o plano a distância . Essa propriedade vale independentemente da forma de e independentemente de o ápice estar “diretamente acima” de um ponto especial da base — portanto a fórmula é válida para cones retos e oblíquos, e para bases de qualquer forma mensurável.
Passo 5
Extensão para pirâmides e bases poligonais.
- Observação: uma pirâmide com base poligonal é um caso particular em que
é um polígono. A prova por fatias funciona da mesma forma (cada fatia paralela à base é um polígono semelhante ao da base, com área que escala como o quadrado do fator linear), daí vale também
para qualquer pirâmide (não precisa ser regular).
- Conclusão prática: a fórmula aplica-se a cones com base arbitrária e a pirâmides com base poligonal — a única hipótese essencial é que a base esteja em um plano e seja mensurável e que se considere a altura perpendicular do ápice ao plano da base.
Passo 6
Generalização para dimensão arbitrária
.
- Motivação: a razão do fator
veio da integração de um fator (o expoente vem porque, em , a área da seção transversal é uma medida de dimensão ). Em o análogo — “cone n-dimensional” sobre uma base de dimensão — terá seções cujo -volume escala com . Portanto a integral dará um fator . - Enunciado preciso: seja
uma região mensurável contida em um hiperplano de . Considere o cone formado pelos segmentos que ligam um ponto ápice (fora do hiperplano) a todos os pontos de . Seja a distância perpendicular de ao hiperplano. Então o volume -dimensional de é
onde
é a medida
-dimensional da base.
- Prova curta do caso geral: para
a seção transversal a distância do ápice tem -volume
com
. Então
- Verificação de casos conhecidos: para
recupera ; para recupera a fórmula da área de um triângulo .
Passo 7
Discussão das hipóteses mínimas e observações úteis para a prova/exame.
- Hipóteses essenciais: a base deve ser mensurável no sentido de Lebesgue (para que faça sentido sua “área” ou
-medida); o ápice não deve estar no hiperplano da base; a altura é a distância perpendicular do ápice ao hiperplano da base. Essas hipóteses são bem fracas — não exigem convexidade nem suavidade da fronteira da base. - Observações práticas para prova: ao aplicar a fórmula em problemas, tenha cuidado em usar a altura perpendicular (não confundir com a geratriz ou “altura inclinada”). Mesmo para cones oblíquos, o volume usa a distância perpendicular. Se precisar justificar no exame, explique o argumento por fatias e semelhança/homotetia como fiz acima — é curto e robusto.
- Exemplo numérico rápido (chega para fixar a ideia): um cone com base elíptica de área
e altura tem volume .
Resposta
Para qualquer cone em
cuja base
seja uma região plana mensurável e cujo ápice tenha distância perpendicular
ao plano da base:
Mais geralmente, em
, para o cone com base
de medida
e altura
: