Encontre as derivadas parciais com relação a
e com relação a
para cada uma das funções de duas variáveis reais dadas.
.
Passo 1
O enunciado pede as derivadas parciais de
em relação a
e em relação a
. A função dada é
Informações relevantes fornecidas:
- A função é uma soma de duas parcelas: uma que depende só de
, , e outra que depende só de , . - Precisa-se calcular:
-
— derivada parcial em relação a . -
— derivada parcial em relação a .
-
Passo 2
Definição intuitiva e formal curta: a derivada parcial de
em relação a
mede como
varia quando mudamos
mantendo
fixo. Formalmente,
De modo análogo,
Essas definições são a base, mas na prática usamos regras de derivação (soma, constante, regra do poder) tratando a outra variável como constante.
Passo 3
Regras básicas que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Linearidade: a derivada de soma é a soma das derivadas. Ou seja,
. - Regra da constante: se algo não depende da variável que estamos derivando, sua derivada é
. Por exemplo, ao derivar em relação a , qualquer expressão que dependa só de é tratada como constante e deriva para . - Regra do poder (para funções
com inteiro): . Aplicamos isso quando a variável é a que estamos diferenciando.
Passo 4
Cálculo de
usando as regras:
-
é soma de duas parcelas. - Ao derivar em relação a
, a parcela usa a regra do poder: a derivada de é . - A parcela
não depende de , então sua derivada em relação a é .
Portanto, aplicando linearidade,
Passo 5
Verificação rápida pelo limite (para fixar a ideia): pelo definição,
Expandindo
obtemos
Tomando
aparece
, confirmando o resultado anterior.
Passo 6
Cálculo de
:
- Agora derivamos em relação a
. A parcela não depende de , então sua derivada em relação a é . - A parcela
usa a regra do poder: a derivada de em relação a é .
Pela linearidade,
Passo 7
Verificação rápida pelo limite (opcional, para fixar): pela definição,
Expandindo
obtemos
e o limite
dá
, como antes.