Encontre as derivadas parciais com relação a x e com relação a y para cada uma das funções de duas variáveis reais dadas.
f(x, y)=x^{3}+y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de f em relação a x e em relação a y. A função dada é
f(x,y)=x^{3}+y^{2}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é uma soma de duas parcelas: uma que depende só de x, \,x^{3}\,, e outra que depende só de y, \,y^{2}\,.
  • Precisa-se calcular:
    • \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) — derivada parcial em relação a x.
    • \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) — derivada parcial em relação a y.

Passo 2

Definição intuitiva e formal curta: a derivada parcial de f em relação a x mede como f varia quando mudamos x mantendo y fixo. Formalmente,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.
De modo análogo,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\lim_{k\to 0}\frac{f(x,y+k)-f(x,y)}{k}.
Essas definições são a base, mas na prática usamos regras de derivação (soma, constante, regra do poder) tratando a outra variável como constante.

Passo 3

Regras básicas que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Linearidade: a derivada de soma é a soma das derivadas. Ou seja, \dfrac{\partial}{\partial x}(u+v)=\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial v}{\partial x}.
  • Regra da constante: se algo não depende da variável que estamos derivando, sua derivada é 0. Por exemplo, ao derivar em relação a x, qualquer expressão que dependa só de y é tratada como constante e deriva para 0.
  • Regra do poder (para funções t^{n} com n inteiro): \dfrac{d}{dt}t^{n}=n\,t^{n-1}. Aplicamos isso quando a variável é a que estamos diferenciando.

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) usando as regras:
  • f(x,y)=x^{3}+y^{2} é soma de duas parcelas.
  • Ao derivar em relação a x, a parcela x^{3} usa a regra do poder: a derivada de x^{3} é 3x^{2}.
  • A parcela y^{2} não depende de x, então sua derivada em relação a x é 0.
    Portanto, aplicando linearidade,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=3x^{2}+0=3x^{2}.

Passo 5

Verificação rápida pelo limite (para fixar a ideia): pelo definição,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{3}+y^{2}-(x^{3}+y^{2})}{h} =\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{3}-x^{3}}{h}.
Expandindo (x+h)^{3}=x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3} obtemos
\frac{(x+h)^{3}-x^{3}}{h}=3x^{2}+3xh+h^{2}.
Tomando h\to 0 aparece 3x^{2}, confirmando o resultado anterior.

Passo 6

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y):
  • Agora derivamos em relação a y. A parcela x^{3} não depende de y, então sua derivada em relação a y é 0.
  • A parcela y^{2} usa a regra do poder: a derivada de y^{2} em relação a y é 2y.
    Pela linearidade,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=0+2y=2y.

Passo 7

Verificação rápida pelo limite (opcional, para fixar): pela definição,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\lim_{k\to 0}\frac{x^{3}+(y+k)^{2}-(x^{3}+y^{2})}{k} =\lim_{k\to 0}\frac{(y+k)^{2}-y^{2}}{k}.
Expandindo (y+k)^{2}=y^{2}+2yk+k^{2} obtemos
\frac{(y+k)^{2}-y^{2}}{k}=2y+k,
e o limite k\to 0 2y, como antes.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=3x^{2}
\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2y

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