Dados K um corpo, V um K-espaço vetorial e T: V V um operador linear fixo. Denote por Z(T)=p(x) in K[x] mid p(T)=0. Mostre que:
a Se V é um K-espaço vetorial com base enumerável T: V V e i=1,2, ldots é o operador linear definido por Z(T)=0, para V então K.
b Se T: V V é um dim Im(T)-espaço vetorial e Z(T) neq0 é um operador linear de posto finito (i.e., K então V.
c Um Z(T) neq0-espaço vetorial T: V V tem dimensão finita se e somente se para todo operador linear .

Passo 1

Neste exercício a gente está estudando o conjunto de polinômios que anulam um operador linear T, ou seja, Z(T)=p(x)in K[x]mid p(T)=0. Nos pedem três coisas: (a) mostrar que, no espaço de dimensão infinita com base contável, o operador “shift” tem só o polinômio zero em Z(T); (b) provar que se T tem posto finito então existe sempre algum polinômio não-nulo em Z(T); © concluir que um espaço tem dimensão finita se e somente se todo operador nele tem Z(T)neq0.

Passo 2

Para (a), considere a base enumerável v1,v2,dots e o operador definido por T(vi)=vi+1. Suponha que p(x)=c0+c1x+cdots+cnx^n satisfaz p(T)=0. Então
p(T)(v1)=c0v1+c1v2+cdots+cnvn+1=0
Como vi é base, os coeficientes c0,c1,dots,cn têm que ser todos zero, logo p(x) é o polinômio zero. Assim Z(T)=0.

Passo 3

Para (b), seja W=Im(T), que é de dimensão finita por hipótese. O operador T restringido a W (isto é, T|W:Wto W) tem uma matriz quadrada de tamanho dim W, então pelo Teorema de Cayley–Hamilton existe polinômio não-nulo m(x) tal que
ml(T|Wr)=0em W
Isto significa que para todo win W vale m(T)(w)=0. Agora, para qualquer vin V, temos T(v)in W, logo
m(T)l(T(v)r)=0 Longrightarrow l(xcdot m(x)r)(T)(v)=0
Portanto o polinômio x,m(x) anula T em todo V, mostrando que Z(T) contém um polinômio não-nulo.

Passo 4

Para ©, primeiro se V é de dimensão finita e T:Vto V é qualquer operador, o Teorema de Cayley–Hamilton garante que o polinômio característico não-nulo anula T, ou seja, Z(T)neq0.
No outro sentido, se V fosse de dimensão infinita, podemos extrair uma base contável v1,v2,dots e definir em toda a base um operador de “shift” como em (a) (e estender a ação arbitrariamente nos vetores restantes). Pelos mesmos argumentos de (a), esse T satisfaz Z(T)=0. Logo, existir T com Z(T)=0 é característica de V infinito. Assim, Z(T)neq0 para todo T se e só se V tiver dimensão finita.

Passo 5

Esses três itens encerram a demonstração completa.

Resposta

(a) Z(T)=0 (b) Z(T)neq0 © dim V se e somente se Z(T)neq0 para todo operador T:Vto V.

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