Dados um corpo, um -espaço vetorial e um operador linear fixo. Denote por . Mostre que:
a Se é um -espaço vetorial com base enumerável e i=1,2, ldots é o operador linear definido por Z(T)=0, para V então K.
b Se T: V V é um dim Im(T)-espaço vetorial e Z(T) neq0 é um operador linear de posto finito (i.e., K então V.
c Um Z(T) neq0-espaço vetorial T: V V tem dimensão finita se e somente se para todo operador linear .
Para (a), considere a base enumerável v1,v2,dots e o operador definido por T(vi)=vi+1. Suponha que p(x)=c0+c1x+cdots+cnx^n satisfaz p(T)=0. Então
p(T)(v1)=c0v1+c1v2+cdots+cnvn+1=0
Como vi é base, os coeficientes c0,c1,dots,cn têm que ser todos zero, logo p(x) é o polinômio zero. Assim Z(T)=0.
Passo 3
Para (b), seja W=Im(T), que é de dimensão finita por hipótese. O operador T restringido a W (isto é, T|W:Wto W) tem uma matriz quadrada de tamanho dim W, então pelo Teorema de Cayley–Hamilton existe polinômio não-nulo m(x) tal que
ml(T|Wr)=0em W
Isto significa que para todo win W vale m(T)(w)=0. Agora, para qualquer vin V, temos T(v)in W, logo