Verifique que se V é um K-espaço vetorial, T: V V um operador lineare p(x), q(x) in K[x] então (p+q)(T)=p(T)+q(T) e(p cdot q)(T)=p(T) circ q(T). Conclua que p(T) circ q(T)= q(T) circ p(T).
a Seja V um K-espaço vetorial de dimensão arbitrária, a in K-0 e T in Hom(V) satisfazendo a seguinte equação a^2 T-3 a T^2+T^3=0 Hom(V) . Mostre que V=ker(T) oplus Im(T).
b Em geral, considere um polinômio P in K[x] tal que P(0)=0, P^prime(0) neq 0 junto com um endomorfismo T in Hom(V) tal que P(T)=0 Hom(V) . Mostre que V=ker(T) oplus Im(T).

Passo 1

O enunciado pede para entendermos como polinômios agem em um endomorfismo T via a avaliação p(x)mapsto p(T), verificarmos propriedades de soma e produto (isto é, que é um homomorfismo de anéis) e, com isso, mostrar que p(T) e q(T) comutam. Depois, nos itens (a) e (b), há relações polinomiais que nos permitem usar o Teorema de Bezout para obter a decomposição direta V=ker(T)oplusIm(T).

Passo 2

Vamos definir para p(x)=sumi=0^n ai x^i em K[x] a avaliação em T como
p(T)=sumi=0^n ai,T^i
Como soma e produto de polinômios corresponde, sob essa avaliação, a soma e composição de operadores, temos imediatamente:
(p+q)(T)=p(T)+q(T),
(pcdot q)(T)=p(T)circ q(T)

Passo 3

Daí concluímos que a ordem de p(T) e q(T) não importa, pois
p(T)circ q(T)=(pcdot q)(T)=(qcdot p)(T)=q(T)circ p(T)

Passo 4

Para o item (a), observe que
a^2T-3aT^2+T^3=0Longrightarrow Tl(T^2-3aT+a^2Ir)=0

Passo 5

Defina o polinômio P(x)=xQ(x) com Q(x)=x^2-3ax+a^2. Note que Q(0)=a^2neq0, logo gcd(x,Q(x))=1. Pelo Teorema de Bezout, existem U(x),V(x)in K[x] tais que
U(x)x+V(x)Q(x)=1

Passo 6

Avaliando em T, usando a comutatividade já estabelecida, obtemos
U(T)circ T+V(T)circ Q(T)=IV

Passo 7

Isso dá, para qualquer vin V,
v=U(T)T(v)+V(T)Q(T)(v)=u+w,
onde u=U(T)T(v)inIm(T) e w=V(T)Q(T)(v) satisfaz T(w)=V(T)Q(T)T(v)=V(T)P(T)(v)=0, então winker(T). Assim V=Im(T)+ker(T).

Passo 8

Para ver que a soma é direta, se vinIm(T)capker(T), então v=T(u) e T(v)=T^2(u)=0. Da relação polinomial em (a) vem a^2T(u)-3aT^2(u)+T^3(u)=0Rightarrow a^2T(u)=0Rightarrow T(u)=0 (como aneq0), então v=T(u)=0.

Passo 9

No item (b), o argumento é análogo: escreva P(x)=xQ(x) com Q(0)=P'(0)neq0, use Bezout para obter A(x)x+B(x)Q(x)=1, avalie em T e repita a decomposição e a prova de interseção trivial.

Resposta

Concluímos que para quaisquer polinômios p,q vale p(T)circ q(T)=q(T)circ p(T) e, tanto no caso (a) quanto no (b), obtém-se a decomposição direta V=ker(T)oplusIm(T)

Exercícios relacionados