Verifique que se
é um
-espaço vetorial,
um operador lineare
então
. Conclua que
.
a Seja
um
-espaço vetorial de dimensão arbitrária,
e
satisfazendo a seguinte equação
. Mostre que
.
b Em geral, considere um polinômio
tal que
junto com um endomorfismo
tal que
. Mostre que
.
a Seja
b Em geral, considere um polinômio
Passo 1
O enunciado pede para entendermos como polinômios agem em um endomorfismo
via a avaliação
, verificarmos propriedades de soma e produto (isto é, que é um homomorfismo de anéis) e, com isso, mostrar que
e
comutam. Depois, nos itens (a) e (b), há relações polinomiais que nos permitem usar o Teorema de Bezout para obter a decomposição direta
.
Passo 2
Vamos definir para
em
a avaliação em
como
Como soma e produto de polinômios corresponde, sob essa avaliação, a soma e composição de operadores, temos imediatamente:
Passo 3
Daí concluímos que a ordem de
e
não importa, pois
Passo 4
Para o item (a), observe que
Passo 5
Defina o polinômio
com
. Note que
, logo
. Pelo Teorema de Bezout, existem
tais que
Passo 6
Avaliando em
, usando a comutatividade já estabelecida, obtemos
Passo 7
Isso dá, para qualquer
,
onde
Passo 8
Para ver que a soma é direta, se
, então
e
. Da relação polinomial em (a) vem
(como
), então
.
Passo 9
No item (b), o argumento é análogo: escreva
com
, use Bezout para obter
, avalie em
e repita a decomposição e a prova de interseção trivial.
Resposta
Concluímos que para quaisquer polinômios
vale
e, tanto no caso (a) quanto no (b), obtém-se a decomposição direta