Considere as seguintes afirmações: I. O conjunto
munido com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar é um subespaço vetorial de
. É(São) Correta(s): a) Apenas I
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
com as operações usuais e define o conjunto
O que se quer verificar é se
é subespaço de
. Para isso vamos usar o critério de subespaço vetorial.
Passo 2
Recordando a definição: um subconjunto
é subespaço de
se, e somente se,
- O vetor nulo de
está em . -
é fechado sob adição: para todo , . -
é fechado sob multiplicação escalar: para todo e todo escalar , .
Passo 3
Verificação do vetor nulo: por definição
contém exatamente o vetor
, que é o vetor nulo de
. Logo, a condição 1 está satisfeita.
Passo 4
Verificação da adição: seja
e
dois vetores em
. Como
só tem um elemento, temos
. Então
que pertence a
. Logo, a condição 2 está satisfeita.
Passo 5
Verificação da multiplicação por escalar: seja
e
. Novamente
, então
que está em
. Assim, a condição 3 está satisfeita.
Passo 6
Como todas as três propriedades (presença do nulo, fechamento sob adição e fechamento sob multiplicação escalar) foram verificadas, concluímos que
é de fato um subespaço vetorial de
. Logo a afirmação I é verdadeira.
Resposta
a) Apenas I