Considere as seguintes afirmações: I. O conjunto S=(0,0,0,0) munido com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar é um subespaço vetorial de V=R^4. É(São) Correta(s): a) Apenas I

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=R^4 com as operações usuais e define o conjunto
S=(0,0,0,0)
O que se quer verificar é se S é subespaço de V. Para isso vamos usar o critério de subespaço vetorial.

Passo 2

Recordando a definição: um subconjunto Ssubseteq V é subespaço de V se, e somente se,
  1. O vetor nulo de V está em S.
  2. S é fechado sob adição: para todo u,vin S, u+vin S.
  3. S é fechado sob multiplicação escalar: para todo uin S e todo escalar lambdainR, lambda uin S.

Passo 3

Verificação do vetor nulo: por definição S contém exatamente o vetor (0,0,0,0), que é o vetor nulo de V. Logo, a condição 1 está satisfeita.

Passo 4

Verificação da adição: seja u e v dois vetores em S. Como S só tem um elemento, temos u=v=(0,0,0,0). Então
u+v = (0,0,0,0)+(0,0,0,0) = (0,0,0,0),
que pertence a S. Logo, a condição 2 está satisfeita.

Passo 5

Verificação da multiplicação por escalar: seja uin S e lambdainR. Novamente u=(0,0,0,0), então
lambda u = lambda,(0,0,0,0) = (0,0,0,0),
que está em S. Assim, a condição 3 está satisfeita.

Passo 6

Como todas as três propriedades (presença do nulo, fechamento sob adição e fechamento sob multiplicação escalar) foram verificadas, concluímos que S é de fato um subespaço vetorial de R^4. Logo a afirmação I é verdadeira.

Resposta

a) Apenas I

Exercícios relacionados